《高等代数》月测试试题与及答案（行列式与线性方程组部分）
一、（共12分）叙述下列概念或命题：
（1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理.
答：（1）向量组
称为线性相关，如果有数域
中不全为零的数
，使
.
注对如下定义也视为正确：如果向量组
（
）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组
称为线性相关的.
（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身
是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.
注对如下定义也视为正确：向量组
的一个部分组
称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ）
线性无关；（ⅱ）
可由
线性表出.
（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.
注用公式写出按行（或列）展开定理亦可.
二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分）
1．
．
（×）
2．若向量组
（
）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合．（×）3．在全部
（
）级排列中，奇排列的个数为
．（√）4．若排列
为奇排列，则排列
为偶排
列．（×）5．若矩阵
的秩是
，则
的所有高于
级的子式（如果有的话）全为零．（√）
6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比
例．（×）
7．当线性方程组无解时，它的导出组也无
解．（×）
8．对
个未知量
个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无
解．（×）
9．等价向量组的秩相
等．
（√）
10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的
解．（√）
三、（共18分）计算行列式
（1）
解原式
．
注用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）
解将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式
．
注本题也可以从第4行提取公因子
，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式
．
（3）
（
）．
解原式
．
注本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：
，答案正确给满分，有正确的递推式但结果有误，给3分．另外对按第一行（或列）展开者类似给分．
四、设向量组
，
，
，
，
．试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．（10分）
解
…………（5分）
故向量组的秩为3，
是一个极大线性无关组，并且…………（8分）
，
．…………（10分）
注本题关于极大线性无关组答案中，除
不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分．
五、讨论
取什么值时下列线性方程组有解，并求解．（10分）
解方程组的增广矩阵为
，系数行列式为
……（2分）
（1）当
且
时，方程有唯一解，此时…………（3分）
，故得解为
；…………（5分）（2）当
时，增广矩阵
，无解；…………（7分）
（3）当
时，增广矩阵
，有无穷多组解，通解为
（
为自由未知量），或表成
．……（10分）
注本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论．对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分．
六、证明题：（每小题10分，共30分）
1．证明：如果向量组
线性无关，而
线性相关，则向量
可以由
线性表示，且表示法唯一．（10分）．
证明（1）由
线性相关，存在不全为零的数
，使
…………（2分）
又由
线性无关，得
（否则，
线性相关，矛盾）…………（4分）
于是，
；…………（5分）（2）设
，
，则
，即
，
由于
线性无关，故
，即
（
）．
…………（10分）
2．证明：若向量
线性无关，则
也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．
证明设
，即
，
…………（2分）
由于
线性无关，故有
解之得，
…………（5分）
故
也线性无
关．…………（6分）
对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量
线性无关，并不能得到向量
线性无关的结论．
注1 由
知，
是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；
注2 如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下
结论: 若4个向量
线性无关，则向量
也线性无关．该答案也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．
3．设
是数域
中个互不相同的数，
是数域
中任一组给定的数．求证：
（1）存在唯一的数域
上的次数不超过
的多项式
，使
，
；
（2）特别的，求出使
，
成立的
次的多项式
．
证明（1）将
，
，代入
，得
…………（2分）
由于系数行列式
，…………（4分）故线性方程组有且仅有唯一解，即存在唯一的数域
上的次数不超过
的多项式
，使
，
；…………（5分）（2）由克莱姆定理
，
，
，
，故使
，
成立的
次的多项式为
．…………（10分）注对（2）不用克莱姆定理，而直接观察出
的也给满分．
七、（附加题）证明或否定如下结论：若三个向量
两两线性无关，则
线性无关．并说明在三维几何空间中的意义．（10分）
解本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面．………（5分）
很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面．………（10分）
注否定上述结论时，也可构造反例，如
等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．。