8
引
言
!
!"#
复合单元模型及理论分析
复合单元模型 在实际中，我们经常遇到的是，实体被焊接在
在实际中经常会遇到板和实体焊接在一起的情 况，如铁路货车后从板座与牵引梁之间通过塞焊连 接，心盘座与枕梁之间的连接，等等。后从板座与 心盘在进行有限元计算时，由于这些结构的形状极 不规则，在建模时，这些结构的离散只能采用实体 单元。而与之相连的牵引梁或枕梁在有限元计 算 中，如果也离散为实体单元，则在计算时会占用大 量的机时，使计算变得较为困难，所以这些板在计 算时最好离散为板单元。由于实体单元仅具有 " 个 自由度，而板单元具有 ; 个自由度，这就导致自由 度不连续的问题。对于板单元与实体单元之间的过 渡问题，许多人提出了自己的看法，如在不同单元 连接处采用多点约束方程、构造三维过渡单元和刚 度叠加法。采用多点约束方程和构造三维过渡单元 能够解决自由度的不连续问题，但一般的通用有限 元软件中，没有这种功能，它的用法相应的也就受 到限制。对于刚度叠加法，其物理意义相当于在实 体单元中插入板单元，这与实际不符，只有实体本 身开口的情况下，板才可能插入实体的内部。本文 中提出用复合单元来解决板单元与实体单元之间的 连接问题，供大家参考。
’ ［ （"） %# $ ， &# $ ， # $( ， # $) ， # $* ） !］!（ "# $ ， " " " ’ ［ %#$ ， &# $ ） !］!（ "# $ ，
* 为对应法向 $ / $ / 移的刚度矩阵； ［ + (， ( . ］! $ / ) （ * 方向） 位移及 ( ， ［%］ 为 ) 方向角位移的刚度矩阵； 对应 * 方向角位移的刚度矩阵，在其中起补位作 用。 复合单元的实体单元部分的每一个子矩阵可以 写成为 ［ +# ］ ’,’
2
% （(）
万方数据
(2
中
国
铁
道
科
学
第 "$ 卷
在板足够薄的情况下，可以认为板单元和实体单元 模型在 ! ， 由｛$ ｝%［ & ］ ｛ " 和 # 方向的位移相等， !｝ 可知， 在｛$ ｝ 一定的情况下，可以认为
’ + ! ］%［ ( ! ］ ［ ’ () ［ ’#+ ］%［ ’#)" ］ ， !， * * ，
!"#"$%&’ () *’" +(,"-.)/ 01 2(-., 3-"4")* $), 5’.)6#’"-- 3-"4")*
@-A @B,.C=DB.， EF-8 GH.C=IJ，:-A 9H.C
（?,JKL,0 MHKKNCN >J/OPJQO， MN.OP,K 9HBOR S.JTNP/JO0，MR,.C/R, 2!%%1(， MRJ.,）
收稿日期：!((89(@9!8 作者简介：高广军（8@="—） ，男，河南安阳人，讲师。
板上，或者两者之间是采用搭接的方式，如图 8 和 图 ! 所示。
图8
图!
图 8 结构形如货车后从板座与牵引梁的连接问 题。在此结构中，牵引梁的材料是耐候钢，后从板 座的材料是铸钢，如果建成图 ! 示结构，则实际上 是把后从板座和与之相连的牵引梁作为一体离散为 实体单元，这样就不能反映后从板座与牵引梁的焊 接。图 ! 所示为一般结构中经常采用的搭接结构。 在图 ! 所示的结构中，为了反映表面蒙皮对结 构强度的贡献，可以把表面离散为板单元，相应的 与实体相连的板也同时离散。对于图 ! 所 示 的 结 构，可以把实体的上表面切出与之相连的板的 厚 度，被切出部分的材料属性等同于实体的材料 属 性，这块被切出部分离散为板单元，同时实体的 !"
[(
$ -
$ -
] 为对应板单元 (，) 方向位 )
%
%
（#）
为相邻实体单元 $ 节点法向 （ * 方向） 位 %
移及 ( ， ) 方向角位移的刚度矩阵。则两个实体单元 的刚度矩阵叠加后的刚度矩阵为 ［ +# ］ ’,’
$ 0! $ 0# ! + (， . 2 + (， . ! $ 0" + (， . $ 0# " + (， .
$
! ］! 式中， ［ $+0# (， .
为相邻实体单元上 $ 节 ) " ］ ! 点 (， ) 方 向 位 移 的 刚 度 矩 阵，［ $+0# (， .
$ 0# $ 0# * "
[(
$ 0#
]
%
（’）
!
$ + (， . $
+/ (， .
式中， ［ $+ (， . ］!
!% 4 * &&， 图 * 结 构 的 最 大 应 力 和 位 移 分 别 为 !"2)%* +, 和 %)!2* 1( ’ !% 4 * &&。两种有限元模型 的计算结果应力偏差 ")35 ，位移偏差 ")(5 。
（#） 因此复合单元的刚度矩阵既保持了原有实体单
元刚度矩阵的特性，又增加了对应的转动物理自由 度的贡献，使整个离散后的结构力学模型的物理自 由度连续。
$ 1 $ 0! + (， . 2 + (， . !
从上面可以看出，单独的实体元素和板元素在 连续的节点处具有不同的自由度，虽然按下标叠加 能够形成总的刚度矩阵，但是结合处的刚度矩阵在 两种元素连接的对应节点绕固定轴的转动不都为 %， 即转角是不连续的，最终形成铰接结构，如图 #、 图 & 所示。
+ (， .
%
（$） 若实体表面的板同时也离散为实体单元，则其刚度 矩阵为 ［ +# ］ ’,’
$ $ 0# ! + (， . !
图#
图&
$ 0# " + (， .
复合单元可以看成是板单元与实体单元的组 合，其刚度矩阵可以看成是板单元刚度矩阵与实体 单元刚度矩阵的叠加，其中复合单元中板单元的刚 度矩阵为 ［ +# ］ ’,’
第!"卷 ， 第"期 中 国 铁 道 科 学 #$%&!" ’$&" ! ( ( ! 年 ) 月 *+,’- .-,/0-1 2*,3’*3 -45467，!((! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
$ $ 0! + (， . !
$ 0" + (， .
! ］! 式中， ［ $+0 (， .
[(
$ 0 $ 0
)
] 为对应实体单元上 $ 节点
% 为 %
%
（&）
$ 0 * " " ］! ［ $+0 (， ) 方向位移的刚度矩阵， (， .
对应实体单元 $ 节点法向 （ * 方向） 位移及 ( ， ) 方向 角位移的刚度矩阵， 其中对应 ( ， ) 方向角位移的刚 度为 %， 放在其中起补位作用， ［%］也起补位作用， 代 表 * 方向角位移的刚度矩阵。 然后按下标将板单元的刚度矩阵贡献叠加到复 合单元的刚度中，其叠加后的子矩阵为 ［ +# ］ ’,’
70#*%$&*： 9HKJU NKN&N.O ,.U ORJ.=/RNKK NKN&N.O Q,.VO WN QH..NQONU WNQ,B/N HX ORN UJ/QH.OJ.BHB/.N// HX PHO,OJH. >AY WN= OLNN. ORN&6 ERJ/ J/ , R,PU IBN/OJH. J. YZ7 Q,KQBK,OJH. 6 F. ORJ/ [,[NP ORN QH&[HB.U NKN&N.O J/ ,[[KJNU OH /HKTN ORN >AY/ UJ/QH.OJ.BHB/.N// WNOLNN. /HKJU NKN&N.O ,.U ORJ.=/RNKK NKN&N.O 6 ERN QH&[HB.U NKN&N.O Q,. WN /NN. ,/ ORN QH&WJ= .,OJH. HX /HKJU NKN&N.O ,.U ORJ.=/RNKK NKN&N.O，/H JO R,/ /J\ >AY/ LRJQR ,PN ORPNN UJ/[K,QN&N.O >AY/ ,.U ORPNN PHO,OJH. >AY/6 ]0 ORN Q,KQBK,OJH. HX ORN /HKJU YZ7 &HUNK ,.U YZ7 &HUNK LRJQR QH..NQO/ /HKJU NKN&N.O ,.U ORJ.=/RNKK NKN&N.O LJOR ORN QH&[HB.U NKN&N.O，ORN PN/BKO HX ORJ/ ^J.U HX &HUNK J/ ,K&H/O NIB,K OH ORN /HKJU &HUNK，ORN PN/BKO J/ OPBN ,.U PNKJ= ,WKN 6 8"1 9(%,#： YZ7； MH&[HB.UNU NKN&N.O； 9HKJU NKN&N.O；ERJ.=/RNKK NKN&N.O （责任编辑
图( 图*
$
计算分析验证
2