锐角三角函数一．知识框架二．知识概念1.Rt△ABC中(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边2.特殊值的三角函数：a sina cosa tana cota30°123233345°22221 160°3212 333锐角三角函数（1）基础扫描1. 求出下图中sinD ，sinE 的值．2．把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）．A ． sinA ＝sinA ′B ． sinA ＝2sinA ′C ． 2sinA ＝sinA ′D ． 不能确定3．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ）A ． 35B ． 45C ． 34D ． 434． 如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值．25247C BA5． 计算：sin30°·sin 60°+sin45°．能力拓展6． 如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线上取一点P ，连接AP 、PB ，使sin ∠APB=12，则满足条件的点P 的个数是（ ）A 1个B 2个C 3个D 不存在7． 如图，△ABC 中，∠A 是锐角，求证：1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅8．等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB ．lCBA （第7题图）85F E D创新学习9. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC等于（）A．23B．55C．105D．13答案或提示1．sin sin D E == 2．A 3．B 4．证明：由2225625AB ==，22749BC ==，2224576CA ==，得222AB BC CA =+ ∴又∠C=90°，∴7sin 25BC A AB ==． 5． 原式=12224⨯+=． 6． B 7． 证明：作CD ⊥AB 于D ，则CD=AC ·sinA ∴ 1122sin ABC AB CD AB AC A S ∆== 8． 解：如图，作AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E∵ AB=AC ∴ BD=12BC=3 ∴4=∴ 4sin 5AD ABC AB ∠== 由1122ABC BC AD AC BE S ∆==得 642455BC AD BE AC ⋅⨯===∴24sin 25BE BAC AB ∠== 9．BE D C B A锐角三角函数（2）基础扫描1． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= ．2． 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝34，c ＝4，则a ＝_______．3． 如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（ ）Ａ．12Ｂ．22 Ｃ．1 Ｄ．24． 如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3）， 则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若56AC =，65AB =，则tan ∠ACD 的值为（ ）Ａ．5 Ｂ．55 Ｃ．306Ｄ．66． 已知α是锐角，且cos α=34，求sin α、tan α的值．能力拓展7． 若α为锐角，试证明：sin tan cos ααα=．8． 如图，在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，BC=a ，AC=b （b ＞a ），若tan ∠DCE=12，求a b 的值．创新学习9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=19，试求cosA 与tanA的值．αyxP(2,3)OAb aE D CBA （第8题图）B答案或提示 1． 13 2．． B 4．，325． A6． 解：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，∵ 3cos 4AC AB α==∴设AC=3k ，AB=4k （k ＞0），则k ．∴sin tan BC AB αα=== 7． 证明：如图，Rt ABC ∆中，∠C=90°，设∠A=α，则sin ,cos BC AC AB AB αα== ∴sin cos BCACαα=又 ∵ tan BC AC α= ∴sin tan cos ααα=.8． 解：如图，∵1tan 2DE DCE DC ∠==，∴设 DE=k ，DC=2k （k ＞0）则CE =.又CE 是Rt △ABC 斜边上的中线 ∴∴1),BD k =∴1tan 2BD BCD CD ∠== ∵ A BCD ∠=∠ ∴tan tan A BCD ∠=∠∴12a b -= 9．解：在Rt △DBC 中，∠C=90°，∠DBC=30°，∴tan 3DC DBC BC ∠== ∴可设DC=k ，（k ＞0）．在Rt △ABC 中，由勾股定理知：222BC CA AB +=．∴)()22319k ++=．整理得()()2510k k +-=．∴k=1．∴CA=4．∴cos tan A A ==．CBAbaE D CBA CBAC BAD锐角三角函数（3）基础扫描1． 已知sin α12=，则锐角α= 度． 2． 若tan 1α=，则2cos α= ．3．计算tan 602sin 452cos30+-的结果是（）A ．2BC ．1D ．1-4． 如图，已知等腰梯形ABCD 中，A B ∥CD ，∠A=60°，AB=10，CD=3，则此梯形的周长为（）A ． 25B ． 26C ． 27D ． 28．5． 计算：（1）计算：()013sin 452007tan 30-+-(2) 先化简，再求值:()2221x x x x +-÷+1，其中，tan 60x = ．(3)已知tanA=2．236，用计算器求锐角A （精确到1度）．能力拓展6．如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（ ）D C BAA ．（81035+）m B ．21.6m C ． 103m D ．103835⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭m7．如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CDAB等于（ ）A ．sin αB ．COS αC ．tan αD ．1tan α8．如图，⊙O 的半径为3，弦AB 的长为5．求cosA 的值．创新学习9．如图，∠C=90°，∠DBC=45°，AB=DB ，利用此图求tan22．5°的值．E DCBA 第6题图αPDA 第7题图答案或提示1．30 2．123．C 4．C 5．（1）．原式=111223+= （2）原式=()()()()221111111x x x x x x x xx +-+=-+=-++．当tan 603x ==时，原式=214-=- （3）∠A ≈66° 6． A 7． B8．解：作OC ⊥AB ，垂足为C ．则1522AC AB ==．∴5cos 6AC A OA ==． 9．解:∵∠C=90°，∠DBC=45°，且AB=DB ， ∴∠A=∠ADB=12∠DBC=22．5°设DC=1， 则BC=1，∴tanA=1DC AC ==，∴tan22．51．。