§立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。

问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉，则sin φ＝ 。

三、例题探究例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的班别： _____________学号： _____________高二理科数学导学案中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 ( )A．30° B．45°C．60° D．90°例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.四、练一练（时间：5分钟）1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( )A．cosθ＝μ·v|μ||v| B．cosθ＝|μ·v||μ||υ|C．sinθ＝μ·v|μ||v|D．sinθ＝|μ·v||μ||v|2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ， 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178D ．233．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ） A ．54 B ．104 C ．52 D ．1024．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为 ( )5．正四棱锥S —ABCD ，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO =OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角为 ．【参考答案】§立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 用向量方法求空间中的角ABCD 1E 1F 1A 1B 1C 1D二面角设二面角α—l —β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n 1，n 2，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 1〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.[0，π] 1．求异面直线所成的角设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ，则〈a ，b 〉与θ相等或互补，∴cos θ＝|a ·b ||a |·|b |.2．求直线与平面所成的角如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉，则sin φ＝|cos θ|＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。

问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉，则sin φ＝ 。

三、例题探究例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．【答案】 60°变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝1，A (0,0,0)，M (0,1，12)，Q (12，12，0)，设P (x,0,1)，∴AM →＝(0,1，12)，PQ →＝(12－x ，12，－1)，AM →·PQ →＝0×(12－x )＋1×12＋12×(－1)＝0，∴AM →⊥PQ →，∴选D.[点评] 1．求异面直线所成的角的常用方法是：(1)作图——证明——计算；(2)把角的求解转化为向量运算．2．一般地，若直线AM和点Q固定，点P变动，则直线AM与PQ所成的角为变量，若此角不随P的变化而变化，则只能是AM⊥平面P1P2Q(其中P1、P2是P运动轨迹中的两个点)，故选D.例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．[解析](1)取AB中点O，连接CO，A1B，A1O，∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA＝CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面COA1，∴AB⊥A1C.(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB，又∵平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，∴OC⊥平面ABB1A1，∴OC⊥OA1，∴OA，OC，OA1两两相互垂直，以O为坐标原点，OA→的方向为x轴正方向，|OA→|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O－xyz，由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1，0,0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)，设n ＝(x ，y ，z )是平面CBB 1C 1的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0n ·BB 1→＝0即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，1，－1)，∴cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C→|n ||A 1C →|＝－105， ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.变式：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，则N (1,0,1)．∴BD →＝(－2,2,0)，AD →＝(0,2,0)，AN →＝(1,0,1)， 设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0n ·AN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1，∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →||n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD →，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 方法规律总结用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角，都是转化为直线的方向向量或平面的法向量的夹角计算问题，需注意的是①异面直线所成的角θ∈(0，π2]，故两直线的方向向量夹角α的余弦值为负时，应取其绝对值；②若直线与平面所成的角θ，直线的方向向量和平面的法向量夹角为φ，则其关系为sin θ＝|cos φ|；③若二面角为θ，两平面的法向量夹角为α，则|cos θ|＝|cos α|，需分辨角θ是锐角还是钝角，可由图形观察得出，也可由法向量特征得出．四、练一练（时间：5分钟）1. 若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A ．cos θ＝μ·v |μ||v| B ．cos θ＝|μ·v||μ||υ| C ．sin θ＝μ·v |μ||v| D ．sin θ＝|μ·v||μ||v|[答案] D2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ， 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715B ．21C ．178D ．23[答案] A[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系，设AB ＝4，则D (0,0,0)，B (4,4,0)，E 1(4,3,4)，F 1(0,1,4)，则BE 1→= (0,－1,4)，DF 1→= (0,1,4)． BE 1→·DF 1→＝0×0＋(－1)×1＋4×4＝15，|BE 1→|=17，|DF 1→|=17，∵cos 〈BE 1→，DF 1→〉= BE →·DF→|BE →||DF →|＝=1517·17＝1517，设1BE 与1DF 所成的角为θ，则cos θ=|BE →·DF→|BE →||DF →||=1517，即1BE 与1DF 所成的角的余弦值为1517．故选A ．3．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ）ABCD 1E 1F 1A 1B 1C 1D ABCD 1E 1F 1A 1B 1C 1D 1A 1Cv1.0 可编辑可修改A 、54B 、104C 、52D 、102[答案] B [解析] 取BC 的中点D ，连结DC 1， 可以证明AD 平面BB 1C 1C ， 则AC 1D 是AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，cos AC 1D 11510422C D AC ===，即AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为104，故选B .4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为 ( )[答案] C[解析] 解法一：连结A 1C 1交B 1D 1于O 点，由已知条件得C 1O ⊥B 1D 1，且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以C 1O ⊥平面BDD 1B 1，连结BO ，则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影，∠C 1BO 即为所求，通过计算得sin ∠C 1BO ＝105，故选C.解法二：以A 为原点，AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)、B 1(4,0,2)、D (0,4,0)、D 1(0,4,2)、C 1(4,4,2)，∴BC 1→＝(0,4,2)，BD →＝(－4,4,0)，BB 1→＝(0,0,2)，设平面BDD 1B 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则v1.0 可编辑可修改1111⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0n ·BB 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋4y ＝02z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xz ＝0，取x ＝1，则n ＝(1,1,0)．设所求线面角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC 1→〉|＝|n ·BC 1→||n |·|BC 1→|＝42·20＝105.5．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点S 在底面ABCD 上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO =OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角为 ．[答案] 30°[解析] 可利用平面的法向量。