2 x1 2 x2 12
对设备B，C也可列出类似的不等式
• 故有
x2
x1 2 x2 8
x1 , x2
4 x1 16
此外产品的产量
只能取非负值，即
x1
≥0
≥0 这种限制称为变量的非负约束条件．
(3)明确目标 工厂的目标是在各种设备能力允许的条件下，使总利 润收入 z 2 x1 3x2 为最大． 综合起来，该问题的数学模型为：求一组变量 x1 , x2 的值在满足约束条件
的情况下，
使利润
例 运输问题
2 x1 2 x2 12 x 2x 8 1 2 16 4 x1 x1 , x2 0
z 2 x1 3x2 为最大．
设有三个地方 Al ,A 2 ,A3 生产某种物资
(简称为产地) 四个地方 Bl ,B2 ,B3 , B4 需要该种物资(简称为销地) 产地的产量和销地的销量以及产地到销地的单位运价表见表1 问如何组织物资的运输，才能在满足供需的条件下使总的运 费最少．
表1产销运输表
• 例 3 合理下料问题(后面详述其解法) • 某工厂生产某一种型号的机床，每台机床上 需要2.9m，2.1m ，1.5m的轴分别为一根、 二根、一根，这些轴需用同一种圆钢制作， 圆钢的长度为7.4m，如果要生产100台机床， 问应如何安排下料，才能使用料最省?
例4、某工厂制造A.B两种产品，制造A每吨 需用煤9t，电力4kw，3个工作日；制造B每吨需 用煤5t，电力5kw，10个工作日。已知制造产品A 和B每吨分别获利7000元和12000元，现工厂只有 煤360t，电力200kw，工作日300个可以利用，问 A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大？ 解：设 x1 x 2 ,（单位为吨）分别表示A、B产 品的计划生产数； f 表示利润（单位千元） 则问题归结为如下线性规划问题：
以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有
(1)
Min Z 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
(2 ) 27
4 m钢管根数 6 m钢管根数 8 m钢管根数
模式1 模式2 模式3 模式4 模式5 模式6 4 3 2 1 1 0 0 1 0 2 1 3 0 0 1 0 1 0
2 x1 x 2 600 x1 , x 2 0
在模型窗口中输入如下代码 ： min=2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; 然后点击工具条上的按钮 即可。
钢管下料 问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾 客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢 管都是19m。 （1）现有一客户需要50根4 m、20根6 m和15根8 m 的钢管，应如何下料最节省？ （2）零售商如果采用的不同切割模式太多，将会 导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本， 所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。 此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要 10根5 m的钢管。应如何下料最节省。（了解） 问题（1）的求解 问题分析 首先，应当确定哪些切割模式是可行的。
7
目标函数 max f 7 x1 12 x2 约束条件 9 x 5 x 360
4 x1 5 x2 200 3 x1 10 x2 300 x1 0, x2 0.
1
2
其中(x1, x 2)为决策向量， 满足约束条件的(x1, x 2)称为可行决策。 线性规划问题就是指目标函数为诸决策变量的线 性函数，给定的条件可用诸决策变量的线性等式或不 等式表示的决策问题。线性规划求解的有效方法是单 纯形法（进一步了解可参考有关书籍），当然简单的 问题也可用图解法。 8
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1） 25.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.000000 X2 15.000000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 5.000000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 5.000000 1.000000
1
• 例 1 生产计划问题 假设某厂计划生产甲、乙两种产品， 这两种产品都要分别在A，B，C三种不同设备上加工．按工艺 资料规定：生产每件甲产品需占用设备的小时数分别为2，l， 4；生产每件乙产品需占用设备的小时数分别为2，2，0. 已 知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力(小时数)分别 为12，8，16；又知每生产一件甲产品，该厂会获得利润2元， 每生产一件乙产品，该厂能获利润3元，问该厂应安排生产两 种产品各多少件才能使总的利润收入为最大? 解 (1)明确决策变量 工厂需要确定的是甲、乙两种产品的计划生产量，设x1, x2 分别为甲、乙两种产品的计划生产量，总的利润为z． (2)明确约束条件 因设备A在计划期内有效时间为12小时，不允许超过．
线性规划的图解法(解的几何表示)：
对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以 二维直角坐标平面上作图表示线性规划问题的有关 概念，并求解。 图解法求解线性规划问题的步骤如下：
(1)建立直角坐标系： 分别取决策变量x1 ,x2 为坐标向量。
（2）绘制可行域：
对每个约束（包括非负约束）条件，作出 其约束半平面（不等式）或约束直线（等式）。
3x1+ 2x2 ≤ 65
2x1+ x2 ≤ 40
(A)
(B)
3x2 ≤ 75
x1 , x2 ≥ 0
(C)
(D, E)
例题作图（1）
按照图解法的步骤： （1）以决策变量x1 ，x2 为坐标向量作平面直角 坐标系；
（2）对每个约束（包括非负约束）条件 作出直线（ A 、 B 、 C 、 D 、 E ），并通过判断 确定不等式所决定的半平面。 各约束半平面交出来的区域即可行集或 可行域
• 结果
若目标函数等值线能够移动到既与可行域
有交点又达到最优的位置，此目标函数等值线
与可行域的交点即最优解（一个或多个），此 目标函数的值即最优值。
否则，目标函数等值线与可行域将交于无
穷远处，此时称无有限最优解。
Max z = 1500 x1 + 2500 x2
s.t.
第六章 运筹与优化模型
6.1 简单的运筹与优化模型
一、 线性规划模型 线性规划是运筹学的一个重要分支，它起源于工 业生产组织管理的决策问题。在数学上它用来确定 多变量线性函数在变量满足线性约束条件下的最优 值；随着计算机的发展，出现了如单纯形法等有效 算法，它在工农业、军事、交通运输、决策管理与 规划等领域中有广泛的应用。
25
在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如表 9所示。
4 m钢管根数 6 m钢管根数 8 m钢管根数 余料（m）
模式1
模式2 模式3 模式4 模式5 模式6 模式7
4
3 2 1 1 0 0
0
1 0 2 1 3 0
0
0 1 0 1 0 2
3
1 3 3 1 1 3
问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合 理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。 而所谓节省，可以有两种标准：
外层是主框架窗口， 包含了所有菜单命令 和工具条，其它所有 的窗口将被包含在主 窗口之下。在主窗口 内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗 口是LINGO的默认模型 窗口，建立的模型都 都要在该窗口内编码 实现。
例4
如何在LINGO中求解如下的LP问题：
min s.t .
2 x1 3 x 2 x1 x 2 350 x1 100
各半平面与直线交出来的区域若存在，其 中的点为此线性规划的可行解。称这个区域为可 行集或可行域。然后进行下步。否则若交为空， 那么该线性规划问题无可行解。
（3）绘制目标函数等值线，并移动求解： 目标函数随着取值不同，为一族相互平行 的直线。 首先，任意给定目标函数一个值，可作出 一条目标函数的等值线（直线）； 然后，确定该直线平移使函数值增加的方 向；
例题作图（2）
• 第2步图示(1) 分别作出各约束半平面
3x1+ 2x2 ≤ 65
2x1+ x2 ≤ 40
3x2 ≤ 75
x1 ≥ 0
X2 ≥ 0
例题作图（3）
• 第2步图示(2) 各约束半平面的交－可行域
（3）任意给定目标函数一个值（例如37500） 作一条目标函数的等值线，并确定该等值线平移 后值增加的方向（向上移动函数值增大），平移 此目标函数的等值线，使其达到既与可行域有交 点又不可能使值再增加的位置，得到交点 (5,25)T ，即最优解。此目标函数的值为70000。
例题作图（4）
第3步图示
作出目标函数等值线
函数值增大
2.线性规划的图解法
• 第3步图示(2) 求出最优解
例题作图（5）
1
一般线性规划问题的数学表达式：
max(min) f c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
24
所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原 料钢管上安排切割的一种组合。 例如：我们可以将19 m的钢管切割成3根4 m的钢 管，余料为7 m；或者将19 m的钢管切割成4 m、6 m 和8 m的钢管各1根，余料为1 m。 显然，可行的切割模式是很多的。 其次，应当确定哪些切割模式是合理的。 通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大 于或等于客户需要的钢管的最小尺寸。 例如：将19 m的钢管切割成3根4 m的钢管，余料 为7 m，可进一步将7m的余料切割成4m 钢管（余料 为3 m），或者将7 m的余料切割成6 m钢管（余料为1 m）。