第五章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间
隔分布和服务时间分布(可实测)。
2）从队列的空间可分为有容量限制和无容量 限制。
3）从队列数可分为单列和多列。
.
4
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
n
多队多服务台（并列)
1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall 记号(适用于并列服务台)即：[X/Y/Z]:[A/B/C]
.
6
式中：X——顾客相继到达间隔时间分布。
M—负指数分布Markov，D—确定型分布Deterministic，
Ek—K阶爱尔朗分布Erlang， GI— 一般相互独立随 机分布(General Independent)， G —一般随机分布。
话)：
lt i mpn(t)pn
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态
(Statistical Equilibrium State)的解。
稳态的物理意义见右图， pn 系统的稳态一般很快都
能达到，但实际中达不
到稳态的现象也存在。
值得注意的是求稳态概
率Pn并不一定求t→∞的
过渡状态
极限,而只需求Pn’(t)=0 .
.
1
§1 排队系统的基本概念
§1.1 排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输 入过程；2.排队规则；3.服务机构。现分别说 明：
顾客源
顾客到达 排队结构 服务规则 服务机构
离去
排队规则
图1 排队系统示意图
.
2
1. 输入过程
输入即为顾客的到达，可有下列情况：
1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。
服务的顾客数c
(2)平均逗留时间(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间。
平均等待时间(Wq):指一个顾客在系统中排队等待的时间。
(3)忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空 闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾客数 都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度）
4.排队系统指标优化
Y——填写服务时间分布（与上同）
Z——填写并列的服务台数
A——排队系统的最大容量
B——顾客源数量
C——排队规则
如 [M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过
程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限
源，先到先服务的排队系统模型。
.
7
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
2）顾客是成批到达或是单个到达。
3）顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。
4）顾客到达可能是相互独立的或关联的。所谓 独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。
5）输入过程可以是平稳的（stationary）或说
是对时间齐次的（Homogeneous in time），也可以
是非平稳的。输入过程是平稳的是指顾客相继到达
稳定状态
t
10
即可。
图3 排队系统状态变化示意图
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被
2. 研究系统状态的概率。系统状态是指系
统中顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时 刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。
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9
求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差 分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由
于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也
很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的
含优化设计与优化运营。 问题1 系统中顾客数=平. 均队列长（Lq）+1？ 11
§2.3 排队论主要知识点
• 排队系统的组成与特征
• 排队系统的模型分类
• 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布
• 稳态概率Pn的计算 • 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS])
• 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS]
的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；
非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。
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3
2. 排队规则
1）顾客到达后接受服务分为即时制（损失制） 和等待制。即时制不形成队列，而对于等待制将 会形成队列，顾客可以按下规则接收服务： （1）先到先服务 FCFS （2）后到先服务 LCFS （3）随机服务RAND （4）有优先权服务 PR。