线性规划
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一、选择题（共8小题；共40分）
1.目标函数z =3x −y ，将其看成直线方程时，z 的意义是 () A.该直线的截距
B.该直线的纵截距
C.该直线的纵截距的相反数
D.该直线的横截距
2.完成一项装修工程，请木工需要付工资每人50元，请瓦工需要付工资每人40元，现有工人工资2000元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人的约束条件是 () A.5x +4y <200 B.5x +4y ≥200 C.5x +4y =200
D.5x +4y ≤200
3.不在3x +2y <6表示的平面区域内的一个点是( )
A.(0,0)
B.(1,1)
C.(0,2)
D.(2,0)
4.在平面直角坐标系中，不等式组{x +y −2≤0
x −y +2≥0y ≥0
表示的平面区域的面积是 ()
A.4√2
B.4
C.2√2
D.2
5.设变量x ，y 满足约束条件{x −y ≥−1,
x +y ≥1,3x −y ≤3,
则目标函数z =4x +y 的最大值为 ()
A.4
B.11
C.12
D.14
6.设变量x ，y 满足约束条件{2x −y −2≤0,
x −2y +2≥0,x +y −1≥0,则S =y+1
x+1
的取值范围是( )
A.[1,3
2]
B.[1
2
,1]
C.[1,2]
D.[1
2
,2]
7.给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为 ()
A.1
4 B.3
5
C.4
D.5
3
8.已知点P 在平面区域{x −1≤0
3x +4y ≥4y −2≤0上，点Q 在曲线(x +2)2+y 2=1上，
那么∣PQ ∣的最小值是 ()
A.1
B.2
C.-1
D.1
2
二、填空题（共4小题；共20分）
9.约束条件{x ≥0，
y ≥0，x +y ≤2
所表示的平面区域的面积为 ．
10.已知点A (3,1)和点B (−4,6)在直线3x −2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是 ．
11.设x ，y 满足约束条件{x ≤1,
y ≤2,2x +y −2≥0,
则目标函数z =√x 2+y 2的最小值为 ．
12.不等式{x ≥0
y ≥0y ≤−kx +4k
(k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则kS
k−1
的最小值为 ．
三、解答题（共4小题；共52分）
13.将图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来．
14.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙
型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，问该公司如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润?并求出最大利润．
15.已知函数f(x)=ax2+bx满足−1≤f(1)≤2和1≤f(2)≤3，试求f(3)的取值范围．
16.已知x,y满足条件{7x−5y−23≤0, x+7y−11≤0,
4x+y+10≥0.
求
（1）4x−3y的最大值和最小值；（2）x2+y2的最大值和最小值．
答案
第一部分 1.C
2.D
3.D
4.B
5.B
6.D
7.B
8.A
第二部分
9.210.−7<a <2411.2√55
12.32
第三部分
13.①直线方程是x
3+y
2=1即2x +3y −6=0． 将原点代入左边代数式：2×0−3×0−6<0． 原点不在平面区域内，所求不等式为2x +3y −6≥0． ②直线方程是x−0
2−0=y−3−1−3，即2x +y −3=0，
将原点代入左边代数式：2×0+0−3<0，原点在平面区域内，所求不等式为2x +y −3≤0． 14.设该公司当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为x ，y
则根据条件得x ，y 满足的约束条件为{ x +y ≤12,2x +y ≤19,10x +6y ≥72,
x ≤8,y ≤7,x ∈N ∗,y ∈N ∗,目标函数z =
450x +350y ．
作出约束条件所表示的平面区域如图，
然后平移目标函数对应的直线450x +350y =0（即9x +7y =0）知， 当直线经过直线x +y =12与2x +y =19的交点(7,5)时， 目标函数取得最大值，即z =450×7+350×5=4900
答：该公司派用甲、乙型卡车的车辆数分别7辆和5辆时可获得最大利润4900元．
15.f (1)=a +b ，f (2)=4a +2b ，f (3)=9a +3b ，设f (3)=mf (1)+nf (2)=m (a +b )+n (4a +2b )，
所以有{m +4n =9,m +2n =3,解得{m =−3,
n =3,
所以f (3)=−3f (1)+3f (2)，
因为−1≤f (1)≤2，1≤f (2)≤3，所以−6≤−3f (1)≤3，3≤3f (2)≤9，所以f (3)的取值范围是−3≤f (3)≤12．
16.（1）设z =4x −3y ，则y =4
3x −z
3，作一组斜率为4
3的平行线，由图可知，
当它过C 点时z 值最小，当它经过B 点时z 值最大． z min =4×(−3)−3×2=−18， z max =4×(−1)−3×(−6)=14．
（2）设u=x2+y2，则u就是点(x,y)与原点距离的平方．
由图可知，B点到原点的距离最大，而当(x,y)在原点时，距离为0．所以u max=(−1)2+(−6)2=37，u min=0．。