平面向量"的平行与"垂直基础知识回顾:1.平行（共线）向量定义:方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
记作a// b；2.垂直向量定义:若两个非零向量所或角为90° ,则称这两个向量垂直。
记作日丄b一、基础训练1.已知平面向量a = (3,l),b = (x,-3),a//b,Mx 等于「92.已知平面向量a二(1,-3) ,b= (4,-2),篇+B与2垂直，则兄是 ______3.若耳,©是两个不共线的向量已知厢=2&+応，西二£+3©丽二2彳-若AB,D三点共线，则k=-8设A (4, 1) , B (-2, 3) , C (k, -6),若△ABC为直角三角形且ZB二90°求k的值。
解：当ZB = 90° ,BA= (6-2), BC = (k + 2-9)•/ ZB = 90° /. IX丄BC,BA- BC = 6(k + 2) + (-2)(-9) =0.\k = -5.如图所示，已知A(4,5)J B(1>2),C(12J), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线，A、P、C 三点共线。
解：丽= (5,2), SB = (10,4) = 2莎AP = (2,-1), AC = (8, -4)二 4丽又丽、而共起点B ,丽、疋共起点A, 则B、P、D三点共线，A、P、C三点共线。
a> b是不共线的两个非零向S,OM=ma ,ON=nb OP = «a + ,其中m、n、仅、0 w R，且nm H 0,若M、P、N三点共线，则纟+炉=1 m n -- •P是ZVLBC所在平面上一点，若口4 • PB = PB • PC=PC•币，则P是厶ABC的________ 心.解析：由题知有丙• (PA~PC) = PB • CA = O.即PB_AC.同理可得PA1BC,PC_AB. :.P是厶ABC的垂心.答案：垂例4：设向量a =(4cosa,sina),b =(sin0,4cos0),—►c = (cos0Tsin0) ⑴若a与B -2c垂直，求tan(<z + 0)的值；(2)若tanciftan p = 16,求证:a//b.⑴由feb-2c垂直,aH^-2c) = aEb-2a^ = 0? 即4 sin(cr +0) — 8 cos(cr + 0) = 0,.・.tan(a + 0) = 2;(2)由tan a tan (3 = 16得sin a sin p = 16 cos a cos 0,艮卩4cosa4cos0-sinasiii0 = 0・・・a //b悸例3)已知平面向量。
=(箱,一1) "=(*g)・(1)证明:a丄山(2)若存在不为零的实数几使c — a J r(t2—3)b,d——ka J r 旳，且c 丄〃,试求函数关系式k = f(t)；(3)对(2)的结论，讨论函数k = fCt)的单调性.【解】(1)证明:Va • b=0, .\a_\_b.(2)Tc 丄d,・*. a + (r—3)b • (—ka •) = 0,整理得：—ka ' + [_t —k{r—3)Ja •—3)b= 0?Va • 6 = 0,a2= | a" = 4，/ = 191 q..k = —Qt—3£)・41 2（3M = *门=十（尸一3（）,Q Q"）=斗（八一1）=斗&+1）&—1）・（占0）4 4•••令/（z）>0 得/>1 或/<—1,因此/（力在（一8, —1）和（1 , + oo）上是增函数，在（一1, 0）和（0,1）上是减函数.r -------------------------------- ---------------------------------------------I| 两向量 a I b^a • b=Q^x{x2 + y x y2 =0,这一关系（_电座迥十金工直二______________________________________噩举一反三•■:3.已知向量a=(l,2),6=( —2,l),^u 为正实数，x=a+ (产 + l)b,y = — ga +丄b・k t(1)若兀丄八求怡的最大值；(2)是否存在X"使x//y?若存在，求出怡的取值范围; 若不存在，请说明理由.解：x=a+（产+ l）b=（l，2）+（产+ 1）• （— 2,1）=（—2” 一1，产+ 3） 9y——-^-a + —b —一 + （1，2）+ 丄（一2,1）J k t k t=（—1,—令+丄）•k t k t（1）若x丄y,则x • y = Q,1 9 9 1即（一2 产一1）（—土一子）+ （产+3） • （-y + y）=O. 整理，得怡=严+ ]当且仅当1=~ 即Z=1时，等号成立.=（2）假设存在正实数虹几使x〃y,则9 1 I 9（一2尸一1）（—£ + 丄）一（产 + 3）（—斗一二）=0・k t k t/2 _L1 1化简9得一+ — = 0.即f -\-t-\~k = Q.•：b、t是正实数，故满足上式的 2 不存在.二不存在这样的正实数怡、丫，使x//y.0 例4)(14 分)已知A(3,0) ,B(0,3) Kcos—sina) 9O 为原点.(1)若OC//AB,求tana 的值；(2)若疋丄就，求sin2a的值；(3)若丨OA + OCI = 且«e(0,7r),求禹与况的夹角.【解】（l）OC=（cosa，sim），人鸟=（0,3）—（3,0）= （—3,3）・•: OC// AB, /. 3cosa+3sina = 0，即sina + cosa = 0 9 二tana= — 1. 0 （3 分）{2}AC — (COSQ —3 tsina) ,BC — (cos (z,sin« —3),9：AC±BC,：.AC - BC=0,即(COSQ —3)cosa+sina(sina — 3) = 0,•I l — 3(cosa+sina) = ()9 •••sina+cosa=丄， ◊ (6 分)i o两边平方得l + sin2a=*，・・・sin2°=-晋・0(8分)(3)VOA + OC=(3 + cosa,sig),O（10 分）/. (3 + cosa)2 +sin2a= 13，.I COSQ =O (12 分)» a 3^3i^OB与OC的夹角为0 9 则cos0= -0^-—- = —|—=李，I OB| |OC| 3 2又X[O"「・0=命.O (14 分)4.设平面内两个向量 a=(cosa,sina) ,b= (cos/3,sin/?),且 0<a<p<7r.(1) 证明：(a + b)丄(a —b)；(2) 若两个向量ka + b 与a —肋的模相等，求的值以 HOMWR). 解：(1)证明：法一：T a = (cosa’sina) "= (cosp,sin/3), a~\~b=(cosa + cos/?9 sina+sin/?) 9a~b= (cosa — cos0，sina —sin“),/. (a~\~b) • (a — b)—(cosa + cos^) (COSQ — cos0) + (sina + sin/?) (sina — sin0)=cos 2 a — cos 2 sin 2 a — sin 2 /?= 1一 1 = 0 ,(a + b)丄(a — b).::=(cos'a + sin'a) — ( cos'/?+sin'/?) = 1 — 1 = 0 /. (a + b) _\_(a — b)・(2) V \ ka~\~b\2—(ka + bY —k2a + 2ka • b-\~b29而\a —kb\2^a —2ka • b~\~k b ,又| 加+ 方| = | a —kb | 9•I k2 a2 ~\r2ka• b+b‘ =a~ ~2ka • b~\~k~ b2，（冷一1）护+4加•方+（1—好）货=0, 又\ a\ = \ b\ =1 ,a•»=cos(a_0)，.14怡COS(Q—/?) = 0, 又怡工0 MG R,二cos(a_0) =0.V0<Ca</?<7r9— 7r<a—/?<C0,:・ a—B=—专，:・ p— a=兔练习1.已知向量a=(3,l)b = (l,3)c = (k,2),若(a-c)lb _ _ - 10则k= 0 ;若(a -c) 〃b 则k =—T _________ •2已知向量0 = (1,2)〃二(2厂3)若向量c满足(c+a)//b7 7C丄(Q+方)，则c= ______3.已知』石是不共线的向量^=2a+b, 疋二7+加(入“ e R),则A B,C三点共线的充要条件是是A// = 1 .已知0为AABC所在平面内一点，满足|OA)2+|BC|2= OB|2+|CA)2=|OC|2+|AB|2,则点0 是AABC的垂心。
4.平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120。
，求证:(a-b)丄65.已知a =(V3 ,-l),b = (|,^)存在实—►―►—►―►—►—►数k和t,使得x = a + (t2 - 3)b, y = -ka + tb 且x _L y®不等式竿〉a恒成立，求a的取值范解云丄B a-b=O有xly得k=—故当t-2时，耳兰有最小值-扌7/. H < ------------4小结厂、厂、1 •向量的平行（共线）和垂直是向量夹角的两个特殊情形：两向量平行（共线）即向量的夹角为0或龙，两向量垂直即向量的夹角为2无论是符号语言2还是坐标语言，它们都可以通过向量的数量积来刻画。
2.证明将三点共线转化为过共起点的向量共线。