n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。

例1计算二阶行列式4231=D 。

解：223414231−=×−×==D 例2计算三阶行列式210834021−−=D 。

解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D 14−=2．利用n 阶行列式的定义n 阶行列式==nnn n nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nn np p p p p p a a a ⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21n p p p ⋯ττ=，求和式中共有!n 项。

显然有上三角形行列式nnnn nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnn n a a a a a a a a a D ⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnD λλλλλλ⋯⋱2121==另外nn n nD λλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式001002001000000n D n n=−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n −−−=⋯.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n −−，故(1)(2)2(1)!.n n n D n −−=−3．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TD D =。

注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。

性质2交换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。

性质3用数k 乘行列式的某一行(列),等于用数k 乘此行列式,即kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n ===⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121112112121112111。

第i 行(列)乘以k ，记为k r i ×(或k c i ×)。

推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

推论2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。

性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，nnn n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21221111211+++=。

则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。

性质5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式不变。

例4计算x a a ax a a a x D n ⋯⋮⋮⋮⋯⋯=。

解xa a a x a a n x D n r r r n ⋯⋮⋮⋮⋯⋯⋯111])1([)(21−+=+++a x a x a n x −−−+=⋯⋮⋮⋮⋯⋯0000111])1([1)]()1([−−−+=n a x a n x 例5一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =−=⋯则称n D 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =−知ii ii a a =−，即0,1,2,,ii a i n==⋯故行列式n D 可表示为1213112232132331230000n n n n nn na a a a a a D a a a a a a −=−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由行列式的性质TDD =1213112232132331230000n n n n n n na a a a a a D a a a a a a −−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a −=−−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)n nD =−当n 为奇数时，得n n D D −=，因而得0=n D 。

4．利用行列式按行（列）展开=+++jn in j i j i A a A a A a ⋯2211),,2,1,(0n j i ji ji D⋯=⎩⎨⎧≠=例6计算1314211311023351−−−−−=D 。

解34012113110272016−−−−=D 3411127216)1(23−−−−=+5517520)1)(1(1071125020)1(22−=−−−=−−−=+5．利用化上三角形法若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤：（1）观察元素11a ，若不为1通过变换化为1；（这可以通过对调两行或两列实现，有时也可以把第一行或第一列乘111a 来实现，但要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加困难。

）（2）对第一行分别乘13121,,,n a a a −−−⋯加到第n ⋯,3,2行对应元素上去；（目的：第一列11a 以下的元素全部化为零）（3）用类似的方法把主对角线元素13121,,,n a a a ⋯以下的元素全部化为零。

这样行列式就化为上三角形行列式了，在上述变换过程中，主对角线元素),2,1(,n i a ii ⋯=不能为零，若出现零，可通过行（列）对调使得主对角线上元素不为零。

例7计算1314211311023351−−−−−=D 。

解1192101110160551003351−−−−−=D 11103200112033515−−−−=1120320011103351)5(−−−−−=1300320011103351)5(−−−−−−=211000320011103351)5(−−−−−=55−=6．利用递推公式递推公式法：对n 阶行列式n D 找出n D 与1−n D 或n D 与21,−−n n D D 之间的一种关系——称为递推公式（其中,n D 21,−−n n D D 等结构相同），再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法。

例8证明1221100001000001n n n n x x D x a a a a a x−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n −−−=+++++≥⋯证明：将n D 按第1列展开得12321100001000001n n n n x xD x x a a a a a x −−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11000100(1)001n nx a x +−−+−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1n n a xD −=+由此得递推公式：1n n n D a xD −=+，利用此递推公式可得112()n n n n n n D a xD a x a xD −−−=+=++212n n n a a x x D −−=++111n nn n a a x a x x −−==++++⋯⋯7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式范德蒙行列式111121122122211211111−−−−−−−=n n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x D ⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋯∏≤<≤−=ni j j i x x 1)(例9计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x −−−−−−+++=++++++⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥−−−==−∏⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯8．利用加边法计算n 阶行列式加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例10计算n 阶行列式12121212n n n n nx a a a a x a a D a a a a a x a ++=+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解：1100nn na a D D =⋯⋮1211002,,1100100n i a a a x i n xx−=+−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第行减第1行（箭形行列式）12110000000njn j a a a a xx x x=+=∑⋯⋯⋯⋯11n j nj a x x =⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∑9．利用数学归纳法例11计算n 阶行列式1221100001000001n n n n x x D x a a a a a x−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解：用数学归纳法.当n =2时212211()x D x x a a a x a −==+++212x a x a =++假设n =k 时，有12121k k k k k kD x a x a x a x a −−−=+++++⋯则当n =k+1时，把1+k D 按第一列展开，得11k k k D xD a ++=+1111()k k k k k x x a x a x a a −−+=+++++⋯12111k k k k k x a x a x a x a +−+=+++++⋯由此，对任意的正整数n，有12121n n n n n nD x a x a x a x a −−−=+++++⋯10．利用拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。

例12计算行列式n D =11212212n nn na a a a a a a a a λλλ+++⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯解：n D =1212212n n n n a a a a a a a a a λλ++⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯1222000n n n na a a a a λλλ+++⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯122000n nna a a a λλ=⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯11n D λ−+1211n n a D λλλ−=+⋯……1211ni n i i a λλλλ=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∑⋯上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。