2018年6月浙江省学业水平考试数学试题一、选择题1. 已知集合{1,2}A =,{2,3}B =,则A B =I ( )A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3} 2. 函数2log (1)y x =+的定义域是( )A.(1,)-+∞B.[1,)-+∞C.(0,)+∞D.[0,)+∞ 3. 设R α∈,则sin()2πα-=( )A.sin αB.sin α-C.cos αD.cos α-4. 将一个球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积扩大到原来的( )A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍5. 双曲线221169x y -=的焦点坐标是( ) A.(5,0)-,(5,0) B.(0,5)-,(0,5)C.(,D.(0,,6. 已知向量(,1)a x =r ,(2,3)b =-r,若//a b r r ,则实数x 的值是( )A.23-B.23C.32-D.32 7. 设实数x ,y 满足0230x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩,则x y +的最大值为( )A.1B.2C.3D.48. 在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知45B =o,30C =o,1c =,则b =( )A.B.9. 已知直线l ,m 和平面α,m α⊂,则“l m ⊥”是“l α⊥”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 10. 要得到函数()sin(2)4f x x π=-的图象,只需将函数()sin 2g x x =的图象( )A.向右平移8π个单位 B.向左平移8π个单位 C.向右平移4π个单位 D.向左平移4π个单位11. 若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ,则βα-的值( )A.与m 有关,且与n 有关B.与m 有关,但与n 无关C.与m 无关,且与n 无关D.与m 无关,但与n 有关12. 在如图所示的几何体中,正方形DCEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,N ,6AB =,2AD DC ==,23BC =,则该几何体的正视图为( )A. B.C. D.13. 在如图所示的几何体中,正方形DCEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,//AB DC ,6AB =,2AD DC ==,23BC =,二面角E AB C --的正切值为( )A.33B.32C.1D.233 14. 如图,A ,B 分别为椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点,O 为坐标原点,E 为线段AB 的中点,H 为O 在AB 上的射影,若OE 平分HOA ∠,则该椭圆的离心率为( )A.1 3B.33 C.23 D.6315.三棱柱各面所在平面将空间分为()A.14部分B.18部分C.21部分D.24部分16.函数2()()x nmf x e-=(其中e为自然对数的底数)的图象如图所示,则()A.0m>,01n<< B.0m>,10n-<<C.0m<,01n<< D.0m<,10n-<<17.数列{}na是公差不为0的等差数列,nS为其前n项和.若对任意的n N*∈,有3nS S≥,则65aa的值不可能为()A.43 B.32 C.53D.218.已知x,y是正实数,则下列式子中能使x y>恒成立的是()A.21x yy x+>+B.112x yy x+>+C.21x yy x->-D.112x yy x->-二、填空题19.圆22(3)1x y-+=的圆心坐标是_______,半径长为_______.20.如图,设边长为4的正方形为第1个正方形,将其各边相邻的中点相连,得到第2个正方形,再将第2个正方形各边相邻的中点相连,得到第3个正方形,依此类推,则第6个正方形的面积为______.21. 已知lg lg lg()a b a b -=-,则实数a 的取值范围是_______.22. 已知动点P 在直线:22l x y +=上,过点P 作互相垂直的直线PA ,PB 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,M 为线段AB 的中点,O 为坐标原点,则OM OP ⋅u u u u r u u u r的最小值为_______.三、解答题 23. 已知函数13()sin cos 22f x x x =+,x R ∈. (Ⅰ)求()6f π的值;(Ⅱ)求函数()f x 的最大值,并求出取到最大值时x 的集合.24.25. 如图,直线l 不与坐标轴垂直,且与抛物线2:C y x =有且只有一个公共点P .(Ⅰ)当点P 的坐标为(1,1)时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与y 轴的交点为R ,过点R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于A ,B 两点.当2RA RB RP ⋅=时,求点P 的坐标.26. 设函数2()3()f x ax x a =-+,其中a R ∈. (Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的值域;(Ⅱ)若对任意[,1]x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,求实数a 的取值范围.2018年6月浙江省学业水平考试数学试题答案一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.)二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分.)19. (3,0);1. 20. 1221.[4,)+∞22. 25三、解答题 27.已知函数1()sin 2f x x x =+,x R ∈. (Ⅰ)求()6f π的值;(Ⅱ)求函数()f x 的最大值,并求出取到最大值时x 的集合. 答案:(Ⅰ)1;(Ⅱ)max ()1f x =,{|2,}6x x k k Z ππ=+∈.解答:(Ⅰ)113()sin cos 16262644f πππ=+=+=.(Ⅱ)因为()cos sin sincos sin()333f x x x x πππ=+=+,所以,函数()f x 的最大值为1,当232x k πππ+=+,即2()6x k k Z ππ=+∈时,()f x 取到最大值,所以,取到最大值时x 的集合为{|2,}6x x k k Z ππ=+∈.28. 如图,直线l 不与坐标轴垂直,且与抛物线2:C y x =有且只有一个公共点P .(Ⅰ)当点P 的坐标为(1,1)时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与y 轴的交点为R ,过点R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于A ,B 两点.当2RA RB RP ⋅=时,求点P 的坐标. 答案:(Ⅰ)210x y -+=; (Ⅱ)11(,)42±. 解答:(Ⅰ)设直线l 的斜率为(0)k k ≠,则l 的方程为1(1)y k x -=-,联立方程组21(1)y k x y x -=-⎧⎨=⎩,消去x ,得210ky y k -+-=,由已知可得14(1)0k k ∆=--=,解得12k =,故,所求直线l 的方程为210x y -+=. (Ⅱ)设点P 的坐标为2(,)t t ,直线l 的斜率为(0)k k ≠,则l 的方程为2()y t k x t -=-,联立方程组22()y t k x t y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩,消去x ,得220ky y t kt -+-=,由已知可得214()0k t kt ∆=--=,得1(0)2k t t =≠,所以,点R 的纵坐标22tt kt -=,从而,点R 的纵坐标为(0,)2t ,由m l ⊥可知,直线m 的斜率为2t -,所以,直线m 的方程为22ty tx =-+.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,将直线m 的方程代入2y x =,得22224(21)04t t x t x -++=,所以2242(21)4410t t t ∆=+-=+>,12116x x =,又2114RA t =+,2214RB t =+,24214RP t t =+,由2RA RB RP ⋅=,得242121(14)4t x x t t +=+,即24211(14)164t t t +=+,解得12t =±,所以,点P 的坐标为11(,)42±. 29. 设函数2()3()f x ax x a =-+,其中a R ∈. (Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的值域;(Ⅱ)若对任意[,1]x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,求实数a 的取值范围. 答案: (Ⅰ)21(,]4-∞; (Ⅱ)[1,0]-. 解答:(Ⅰ)当1a =时,2251,0()1,0x x x f x x x x ⎧---≤⎪=⎨-+->⎪⎩,(ⅰ)当0x ≤时,2521()()24f x x =-++,此时21()(,]4f x ∈-∞;(ⅱ)当0x >时,213()()24f x x =---,此时3()(,]4f x ∈-∞-,由(ⅰ)(ⅱ),得()f x 的值域为21(,]4-∞.(Ⅱ)因为对任意[,1]x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,所以()1(1)1f a f a ≥-⎧⎨+≥-⎩,即2223413(1)(21)1a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩,解得10a -≤≤. 下面证明,当[1,0]a ∈-,对任意[,1]x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,(ⅰ)当0a x ≤≤时,22()f x x ax a =-+-,2()(0)1f a f a ==-≥-,故()min{(),(0)}1f x f a f ≥≥-成立;(ⅱ)当01x a ≤≤+时,22()5f x x ax a =---,(1)1f a +≥-,(0)1f ≥-,故()min{(1),(0)}1f x f a f ≥+≥-成立.由此,对任意[,1]x a a ∈+,恒有()1f x ≥-. 所以,实数a 的取值范围为[1,0]-.。