专题平行四边形中的简单证明一、平行四边形的性质∆沿AC对折，使点B落在B’处，AB’和CD相交于点1．在平行四边形ABCD中，将ABCO，求证：OD=OB’。

∠=∠2．如图，在ABCD中，点E、F是AC上两点，且AE=CF，求证：EBF FDE3．如图，在ABCD的纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处。

（1）求证：AE=AF；∆≅∆（2）求证：ABE AGF二、平行四边形的判定4．如图，在ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，且BF=DE，连AF、CE、BE、DF、AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点，求证：四边形FMEN为平行四边形。

5．如图，AF 与BE 互相平分，EC 与DF 互相平分，求证：四边形ABCD 为平行四边形。

6．如图所示，已知E 为ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE=DC ，连AE 分别交BC ，BD 于F ，G ，连AC 交BD 于O 点，连OF 。

（1）求证：AF=EF ； （2）DE=4OF专题 平行四边形中的面积问题【方法归纳】：充分利用平行四边形的性质及常用的数学思维方法解决与面积有关的问题一、方程的思想1． 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，已知AE=4，AF=6，ABCD的周长为40，求ABCD 的面积。

2． 如图，E 是ABCD 内任一点，若6ABCD S =，则ABE CDE S S ∆∆+=______二、分类讨论的思想3．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为（ ）A ．113112+B ．113112-C ．113112+或113112-D ．113112+或312+三、数形结合的思想4．基本图形：如图，在ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 任作直线分别交AD ，BC于E ，F 。

基本结论：（1）图中的全等三角形有：____________（2）图中相等的线段有：____________（3）与四边形ABEF 周长相等的四边形是_____________（4）过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，即ABFE S =四_____应用：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为平行四边形，A （5,0），C （1,4），过点P （0，-2）的直线分别交于OA ，BC 于M 、N ，且将OABC 的面积分成相等的两部分，求点M 、N 的坐标。

专题 构造三角形中位线【方法归纳】：中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一一、连接两点构造三角形中位线1．如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四边的中点，试判断四边形EFGH 的形状并予 以证明。

2．如图，在ABC ∆中，2B A ∠=∠，CD AB ⊥于D ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。

求证：DE=DF 。

3．如图，点P 是四边形ABCD 的对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，45CBD ∠=︒，105ADB ∠=︒，探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明。

4．如图，点B 为AC 上一点，分别以AB 、BC 为边在AC 同侧作等边ABD ∆和等边BCE ∆，点P 、M 、N 分别为AC 、AD 、CE 的中点。

（1）求证：PM=PN ；（2）求MPN ∠的度数二、利用角平行线+垂直构造中位线5．如图，在ABC ∆中，点M 为BC 的中点，AD 为ABC ∆的外角平分线，且AD BD ⊥，若AB=12，AC=18，求MD 的长。

6．如图，在ABC ∆中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分ABC ∠，且EF BE ⊥，求证：CF=2ME三、倍长构造三角形中位线7．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BA=BC ，BEF ∆为等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，M 为AF 的中点，求证：ME=12CF 。

四、取中点构造三角形中位线8．如图，四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连BD ，若AB=10，CD=8，求MN 的取值范围。

9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，CA=CB ，E 、F 分别为CA 、CB 上一点，CE=CF ，M 、N 分别为AF 、BE 的中点，求证：AE=2MN 。

10．如图，点P 为ABC ∆的边BC 的中点，分别以AB 、AC 为斜边作Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，且BAD CAE ∠=∠，求证：PD=PE 。

专题矩形中的折叠与勾股定理1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB 上，将DAE∆沿DE折叠，使点A落在BD上的A’处，求AE的长。

2．将一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F 均在BD上），折叠分别为BH、DG。

（1）求证：BHE DGF∆≅∆（2）若AB=6，BC=8，求FG的长。

3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿EF折叠，折痕为EF，使点C落在A点处，点D落在点G处。

（1）求证：AE=AF；（2）求AE的长；（3）求EF的长。

4．（1）操作发现：如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE∆沿BE折叠后得到GBE∆，且点G在矩形ABCD内部，小明将BG延长交DC于边F，认为GF=DF，你同意吗？请说明理由。

（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求ADAB的值；（3）类比探究：保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，直接写出ADAB的值：______专题 构造斜边上的中线【方法归纳】：遇到直角三角形斜边中点时，往往连斜边上的中线基本图形：已知ABD ∆和ABC ∆都是Rt ∆，90ADB ACB ∠=∠=︒基本结论：图1中，若OA=OB ，则OA=OB=OD ，若OA=OD ，则OB=OD ，若OB=OD ，则OA=OD 。

图2中，若OA=OB ，则OA=OD=OC=OB ，图3中，若OA=OB ，则OA=OD=OC=OB 。

1．如图，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE=OE2．如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，点M 、N 分别是BC ，DE 的中点，（1）求证：MN DE ⊥； （2）连ME ，MD ，若60A ∠=︒，求MN DE 的值。

3．如图，在ABC ∆中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，点E 、F 分别在AB ，AC 上，且AE=EF ，点O ，M 分别为AF ，CE 的中点，求证：（1）OM=12CE ；（2）OB=2OM4．如图，CDE ∆中，135CDE ∠=︒，CB DE ⊥于B ，EA CD ⊥于A ，求证：CE=2AB 。

专题 灵活运用菱形的性质1．如图，菱形ABCD 中，点E 为AC 上一点，且DE BE ⊥（1）求证：ADE ABE ∆≅∆（2）若60DAB ∠=︒，AD=23，求DE 的长。

2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使顶点B 落在边AD 上的一点，折痕的一段G 点在边BC 上，另一端F 在AD 上，AB=8，BG=10.（1）求证：四边形BGEF 为菱形；（2）求FG 的长。

3．如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点EF 在BD 上，已知120BAD ∠=︒，30EAF ∠=︒，求AB AE的值。

4．如图，菱上形ABCD 的边长为2，且120ABC ∠=︒，点E 是BC 的中点，点P 为BD 上一点，且PCE ∆的周长最小、（1）求ADE ∠的度数；（2）在BD 画出点P 的位置，并写出作法；（3）求PCE ∆周长的最小值。

5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=4，BC=3，D 为AB 上一点，以CD 、CB 为边作菱形CDEB ，求AD 的长。

专题 灵活运用菱形的判定1．如图，在ABCD 中，E 为BC 上一点，连AE 、BD ，且AE=AB ，（1）求证：ABE EAD ∠=∠（2）若2AEB ADB ∠=∠，求证：四边形ABCD 是菱形2．如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，AE//BC ，DE//AB ，DE 与AC 交于点O ，连CE.（1）求证：AD=EC ；（2）若90BAC ∠=︒，求证：四边形ADCE 是菱形。

3．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F（1）求证：AFD CFE ∠=∠（2）若AB//CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E 点的位置，使EFD BCD ∠=∠，并说明理由。

4．如图，点E 为AB 上一点，以AE 、BE 为边在AB 同侧作等边AED ∆和等边BEC ∆，点P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。

（1）判断四边形PNMQ 的形状，并证明；（2）NPQ ∠的度数为________（直接写出结果）专题 正方形中的简单证明【方法归纳】：运用正方形的边、角、对角线的性质进行简单的线段关系、角度关系及位置关系的证明。

1．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别在OA 、OB 上，且 OM=ON 。

（1）求证：① BM=CN ；②CN BM ⊥（2）若M 、N 分别在OA 、OB 的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由。

2．如图，E 是正方形ABCD 中AD 边上的中点，BD ，CE 相交于点F 。

（1）求证：EB=EC ； （2）求证：DAF DCF ∠=∠（3）求证：AF BE ⊥（4）过F 作FG//BE 交BC 于G ，求证：FG=FC 。

3．如图，已知正方形ABCD ，点P 在对角线BD 上，PE PA ⊥交BC 于E ，PF BC ⊥，垂足为F 点。

（1）求证：PEC BAP ∠=∠（2）求证：EF=FC ；（3）求证：DP=2CF ；4．正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG α∠=，其中0180α︒≤≤︒，连DF 、BF ，如图。

（1）若0α=︒，则DF=BF ，请加以证明；（2）试画出一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由。

专题 中点四边形【方法归纳】：中点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点。