圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） （制卷：周芳明）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。
【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。
点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例1．⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。
记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。
这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。
例1、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ，求M 点的轨迹。
例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.针对练习一、客观题1．平面内到点(0,1)A 、(1,0)B ( )A ．椭圆B ．一条射线C ．两条射线D ．一条线段2．平面上动点P 到定点)0,1(F 的距离比P 到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为( )A ．22y x =B ．24y x =C ．22y x =或{00y x =≤D ．24y x =或{00y x =≤ 3．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2, 若点M 在此抛物线上运动, 点N 与点M 关于点A (1, 1)对称, 则点N 的轨迹方程为（ ）A ．28x y =B ．2(2)8(2)x y -=-C ．2(2)8(2)y x -=--D ．2(2)8(2)y x -=- 4．动点P 在抛物线221y x =+上移动，则点P 与点(0,1)A -连线中点M 轨迹方程是_____________.5．一动点P 到点F (2，0)的距离比它到y 轴的距离大2，则点P 的轨迹方程是 .二、解答题6．动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：x 2 + y 2－8x = 0相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
、、、7．已知抛物线2y = x +1，定点A(3，1)、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA =1∶2，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点),(n S n n 在直线21121+=x y 上，数列{b n }满足*)(0212N n b b b n n n ∈=+-++，b 3=11，且{b n }的前9项和为153.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设)12)(112(3--=n n n b a c ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式57k T n >对一切n∈N *都成立的最大正整数k 的值．19.（本题满分14分）已知点C(1，0)，点A 、B 是⊙O: x 2+y 2=9上任意两个不同的点， 且满足0=⋅BC AC ，设P 为弦AB 的中点。
(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．20、(本题满分14分)过点),0(a A 作直线交圆M ：1)2(22=+-y x 于点B 、C ，在BC 上取一点P ，使P 点满足：AC AB λ=,)(,R PC BP ∈=λλ（1）求点P 的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M 于点R 、S ，求MRS ∆面积的最大值。
一、知识概要：1. 定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
2. 直接法:根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
二、基本训练：1、已知∆ABC 的一边BC 的长为6，周长为16，则顶点A 的轨迹是什么？答: .2、若(5,0),(5,0)||||8A B MA MB --=且, 则点M 的轨迹方程是.(注意区别轨迹与轨迹方程两概念)三、例题：例1、两根杆分别绕着定点A和B (AB = 2a) 在平面内转动,并且转动时两杆保持相互垂直, 求两杆交点的轨迹方程.例3、过点(2,0)M -，作直线l 交双曲线221x y -=于A 、B 不同两点，已知OP OA OB =+。
（1）、求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（2）、是否存在这样的直线，使||||?OP AB =若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
解：（1）、设直线l 的方程为(2)y k x =+，代入221x y -=得2222(1)4410k x k x k ----=， 当1k ≠±时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212241k x x k +=-，2122411k x x k +=- 212122244(2)(2)411k k k y y k x k x k k k+=+++=+=-- 设(,)P x y ，由OP OA OB =+，则212122244(,)(,)(,)11k k x y x x y y k k =++=-- ∴224141k x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，解之得x k y = (0)k ≠ 再将x k y =代入241k y k=-得22(2)4x y +-=……………………（1） 当0k =时，满足（1）式； 当斜率不存在是，易知(4,0)P -满足（1）式，故所求轨迹方程为22(2)4x y +-=，其轨迹为双曲线；当1k =±时，l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。
（2）||||OP AB =，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB 为矩形的充要条件是0OA OB =，即12120x x y y +=。
当k 不存在时，A 、B 坐标分别为(-，(2,-，不满足上式。
又212121212(2)()x x y y x x k x x +=+++2222222(1)(41)244011k k k k k k k ++=-+=-- 化简得：22101k k +=-，此方程无实数解，故不存直线l 使OAPB 为矩形。
点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。
课外作业：1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线2．如图,已知圆B ：(x+1)2+y 2=16及点A(1,0),C 为圆B上任意一点，则线段AC 的垂直平分l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程是 .3．已知ABC ,A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列，则顶点C 的轨迹方程是 .6*．△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A , 则动点A 的轨迹方程为 .8． (06全国Ⅰ)在平面直角坐标系x oy 中，有一个以(10,3F -和(23F 为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x , y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。
求点M 的轨迹方程.9．如图, 过A(-1,0),斜率为k 的直线l 与抛物线C:24y x =交于P 、Q 两点，若曲线C 的焦点F 与P 、Q 、R 三点按图中顺序构成平行四边形，求点R 的轨迹方程。
一、知识概要：代入法（相关点法）有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。
这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。
二、基本训练：1、双曲线2219xy-=有动点P，F1, F2是曲线的两个焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程。
例2、已知定点A ( 3, 0 )，P是圆x 2 + y2 = 1上的动点，∠AOP的平分线交AP于M，求M点的轨迹。
解：如图，设M ( x , y )、P ( x 1 , y 1 )。
由于OM平分∠AOP，故M 分AP 的比为：λ = ||||||||AM OA MP OP == 3 由定比分点公式，得113303,1313x y x y ++==++， 即1143()3443x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由于x 1 2 + y 1 2 = 1，故 22434[()]()1343x y -+=，即 2239()416x y -+=。