q1 x1 q2 x2 q3 x3 q4 x4
d dt
T x1
m1
x1 ;
T x1
0
T
1 2
m1 x12
1 2
m2 x22
1 2
m3 x32
1 2
m4 x42
V x1
k1 x1
k2 (x2
d dt
T x2
m2
x2 ;
x1 ) (k1 k2 )x1 k2 x2
V1
T
2
0
k1 x12
分别代入特征值，得到主振型矩阵为 A 2.295 1.377 0.645
3.929 1.037 0.1220
记adj[Qi]的任意一列为{i}，则 [Qi ]{i} ([k] i[m]){i} {0}
{i} {X i}
证毕
多自由度系统习题
对于本例，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列
(5 )(11 ) 251 2
adjL
10 2 2 (11 )
10 2 2 (5 )
1.000 1.000 1.000
同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为
2 2 2
h3 144EJ
2
5
5
2 5 11
系统的质量矩阵为
m 0 0
M
0
m
0
0 0 m
根据达朗贝尔原理，得到系统的方程为
x1 x2
x3
h3 144 EJ
2 2 2
2 5 5
ห้องสมุดไป่ตู้
2 m
5
0
11 0
0 m 0
由特征方程有
[k]1[m]{X }
写成矩阵形式: mq kq 0
m1 0 0 0
其中
0 m
0
m2 0 0 m3
0
0
0 0 0 m4
k1 k2
k
k2
0
0
k2 k2 k3
k3 0
0 k3 k3 k4 k4
0
0
k
4
k4
qT x1 x2 x3 x4
多自由度系统习题
2 为了隔离机器产生的振动，将机器安装在一大的基座上， 基座由弹簧支承，如下图所示。试求机器和基座在图示平面 内的运动方程。
1 p2 {X}
构造特征矩阵有 L
[k]1[m]
1 p2
I
，得频率方程
多自由度系统习题
0
0
m
xx12 x3
L 0
即 其中
2 2
2
2 5 5 0
2 5 11
mh3 , 1 ，展开得频率方程为
144EJ
p2
3 182 54 2 36 3 0
解出 1 14.43, 2 2.62, 3 0.954
1 2
k2 (x2
x2
x1 )2
1 2
k3 (x3
x2 )
1 2
k4 (x4
x3 )2
V x2
k2 (x2
x1 ) k3 (x3
x2 ) k2 x1
(k2
k3)x2
k3 x3
d dt
T x3
m3
x3 ;
T x3
0
V x3
k3 (x3
x2 ) k4 (x4
x3 ) k3x2
(k3
m1 m2 m3 m EJ1 3EJ EJ 2 2EJ EJ3 EJ
h1 h2 h3 h
x1 x2 x3 为相对地面的坐标。
求出系统的固有频率和按模态质量为一归一化后振型矩阵。
多自由度系统习题
解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其等效刚度为
k 12EJ 由此可将题图等效为右图所示的质量弹簧系统，其中
k4 )x3
k4 x4
d dt
T x4
m4
x4 ;
T x4
0
V x4
k4 (x4
x3 ) k4 x3
k4 x4
多自由度系统习题
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
m1x1 (k1 k2 )x1 k2 x2 0 m2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2 k3 x3 0 m3 x3 k3 x2 (k3 k4 )x3 k4 x4 0 m4 x4 k4 x3 k4 x4 0
解出固有频率为
p1
9.979 EJ mh 3
p2
EJ 55.07
mh 3
p3
151 EJ mh 3
多自由度系统习题
当系统自由度数不太大时(如N=2~4)，可以采用下列求伴随矩 阵的方法求解固有振型：由振动方程
[k]{X} [m]{X}
([k] [m]){X} {0}
由
[k] [m] 0 解出特征值i与固有频率pi
l3
k1
2 12 EJ1 h13
k2
2 12 EJ 2 h23
k3
2 12 EJ 3 h33
广义坐标如图示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。
即对m1施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为
1 k1
第二和第三个弹簧变形为零。由此可得各坐标位移为，
11
1 k1
21
1 k1
31
1 k1
多自由度系统习题
y1 y4 0 y2 q1 bq3 y3 q1 dq3
V
1 2
k1 (q1
bq3 )2
1 2
k1 (q1
dq3 )2
1 2
k2 (q2
aq3 )2
1 2
k2 (q2
aq3 )2
式中，V为贮存在弹簧中的势能
多自由度系统习题
由拉格朗日方程得
d dt
(
T )
q&1
mq&&1
T 0 q1
T 0 q3
多自由度系统习题
解： 选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运 动，并相互独立。设机器和基座的总质量为M，总质量对质心G
点的惯性矩为IG，则
坐标与弹簧变形量之间 关系为：
T
1 2
Mq12
1 2
Mq22
1 2
IG q32
x1 q2 aq3 x4 q2 aq3 x2 x3 0
则运动方程为 Mq1 2k1q1 k1 (b d )q3 0
Mq2 2k2q2 2ak2q3 0
IG q3 k1(b d )q1 2ak2q2 (b2 d 2 )k1q3 2a 2k2q3 0
因此系统具有三坐标弹性耦合的运动方程。
多自由度系统习题
， ，
3 上图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑模型。 假设：
然后设 [Qi ] [k] i[m]
可以证明[Q]阵的伴随矩阵adj[Q]的任意一列，就是 相应于
i的特征向量，即是固有振型{Xi}
[Q] [k] [m]
[Q][Q]1 [I ]
[Q] adj[Q] [Q] [I]
当 i [Qi ] 0
因此 [Qi ] adj[Qi ] [0]
T 0
q2
d dt
(
T ) q&2
mq&&2
d dt
(
T )
q&3
I o q&&3
V q1
k1 (q1
bq3 ) k1 (q1
dq3 )
V q2
2k2 (q2
aq3 )
V q3 k1b(q1 bq3 ) k1d (q1 dq3 ) ak2 (q2 aq3 ) ak2 (q2 aq3 )