h(a) =f(a)-g(a) =M-g(a)�O, h(/J) =f依） — g(/J) =f(/J) —M<o,
P 由介们定理，存在介于a与 之间的点刀，使得h(r;) = O.
综上，存在吓E(a,b),使得h(r;)=O. 因此由罗尔定理可知，存在 名ECa,r;),名E(17,b),使得
h I(名） =h'(名） =O,
= O,
故 x-+=时有斜渐近线y =x.
综上，所求曲线的渐近线条数为 3 条，答案为 D.
(3) C
解 如题目中图所示，大小半圆的面积分别为六与 一 14 六．
按定积分的几何意义知，当 x E[0,2]时f(x)�O,当 x E[2,3]时f(x)�O. 则
I I 2(:) ! F(3)=
勹 (t)dt=
(x2 )" n!
=xe立、2
,x、EC�=,
十=).
(21)解 因为方程组也与＠的公共解，即为联立方程组 x1+x2+x3 = 0,
x1 +2x2+a儿、 3 = O, ＠
X 1 +4x2 +a勹3�o, ｀亢 1+2x2 +.:r :, =a — 1
的解
对方程组＠的增广矩阵A施以初等行变换，有
。 。 1 1 1
= J'(0)存在．
工 -o
x-o X
工-o
X
因此A、B、C正确．故应选D.
(5) D 解
、
由广(x)>O (x>O)得J'(x)在(0, 十=)单调上升.j (x)只有以下三种情形：
(1)由存在x。 E (o, 十=), 厂(x。 )=O得
{二：二勹 ＇
f'(x )
>o, x>xo.
从而f(x)在(O,xo]�, 在[xo,+=)/,
h(x) =f(x,�) = x4 -5x2 +8(— 2�x�2), 由h'(x) = 4x 3 — lOx = O得驻点
if, x1 = O,x2 = -Jf,xs =
h(O) =f(0,2) = 8.
h(
土 Jf)
=
1(
士 ｀｀｀
综上，f(x,y)在D上的最大值为8'最小值为0.
08)解 取丛为xOy平面上被椭圆x 2 +沪 — 4 = 1所围部分的下侧，记9为由2和 �I 围成的空
严X
05) 1
。。。。 。。。。 。。。 。。。 解 因为A2=i
1 1
可知秩r(A 3 )=1.
A3= 。。。。
。。。。
。。。。
1
。。。 I'
(16)
-3 4
解 这是一个几何型概率的计算题．设所取的两个数分别为x和y,则
y
以x为横坐标以y为纵坐标的点Cr,y)随机地落在边长为1 的正方形
内，如右图所示．
又x > x1>x 。时
f(x)>J(x1 )+J 1Cx1)(x — X1) ,
所以 lim f(x) = +=.
-� 一伽+=
(2) 对所有xE Co,十=), 厂(x)>o所以JC.x)在(0, 十=) ,,,九且 lim f(x) =十=.
x·-+=
Ci) 对VxE(O,十=),J'(x)<O,f(x)在 (0, 十＝心，则或 lim f(x) :3 或 lim f(x) = — 气
1 0 1i0 0 1 0!0
B = I 0 0 0 : 0 I'
0 0 0j0
围此也与＠的公共紨为
X" k勹，其中k为任意常数．
当a = 2时，
101
O10 B= I 0 O 1
000
因此心与＠的公共解为
-1 ＼ （ 1 0 0
1
010
-1 f 0 0 1
0 000
0 1
。-11•
x = 勹］ ．
勹 + 勹 Ct)dt f Ct)dt = 』 广 －＝— ，
2
亢
勹 F(2)= f (t)dt= _2!_兀
I 勹 因为f(x)为奇函数，所以F(x)=
(t)dt 为偶函数
得F(-3)= F(3)= —38 六， F( — 2)=F(2)= —21 六．
因此F(
—
3 3)— = F 4 (2).故应选C.
间闭区域根据高斯公式，得
矿 I1 = xzdydz+2zydzdx+3xydxdy
l』�+�1
= (z +2z +o)dxdydz
I 『 。 = 1 3zdz
dxdy
y2
工2+—冬1-z
！
＝［ 际z(l —'z)dz� 兀．
又
I,� §xz:ydz+2zydzdx+3xydxdy
�I
『 = -3
xydxdy = O,
I
I
I
扩 围 即I = (x+IYI)dS= IYldS
I
I
气用Clxl+IYI+巨I)dS
=- 31 �l
dS
=
-1 •3
曲面2的面积．
记2在第一卦限部分的面积为<J1 ' 则<J1 cosr = -12 ,即<J1 =忒 —2 .
—1
因此I = 3
•
8a
J
=-83 求 • -2 =
4 — 3 .
=
l 迈(J l
e二二2a产 l ，
1
(y 了2)2
八(y)=
e
2 加2 '
迈<J1
J
x1yCxly)
=
j(.z; ,y) 八(y)
=
1
,n;<J2
- (x-µ1)2 e 2,i
八(x)'故应选A.
二、填空题
(11)- 石2
I ✓e 了勹· 解
原式＝ — f 2— 1 de了l ＝－— le..!工..
设事件A表示 ” 所取两数之差的绝对值小于 一 12 “，则样本空间[), { (x,y) :O<x<l ,O<y<l}; 事件A 的样本点集合为区域G中所
。
J 2-
X
有的点，而G= { (x,y):O<x<l,O<y <l,Iy —xi<— 2 ｝．区域Q的面
积岛 = l,区域G的面积
Sa
= Sn-Sa1
工-+=
x-+=
— 1
2
例如，f(x)
=
—⇒广(x )
X
=
X
3
>o
(x>O) .
u,, = J(n 心，压1=J(n) = O.
— — 又如，f(x) =
1
X
—
x⇒广
(
x)
=
2
X3
>O(x>O).
U
n
= f(n)
=
1 --n'\l, n
但
n
lim
一 十~
u
(n
)
=
— =.
所以A、B不正确．
由(1),(2)得C不正确，而D正确．故应选D.
(2 2)解C I)由Aa1= l 1a1,知 Ba1= (A 5 - 4A+ 3 E)a1 = (店-4入f十l)a1= -2 a1,
故 x= O 为垂直渐近线．
又丸�ooy = 工匣�00[�+lnO +e工 ） J=o+lnl = O,
故 x--=时有水平渐近线y = O.
丘-; 妇�[了+ X ] 又
y= .
1
ln(l +e勹 =o+x�T00 �= 1,
压 勹+ 厂 �(y —x)= lim x-+= X
lnO +ex )-lnex ] =o+工甘Tooln 1
非齐次项f(x) =e气a =2不是特征根，非齐次方程有特解y* =Ae气 代入方程得(4A-8A+3A)产 =2e2三今 A = -2.
+c 因此，通解为y = Ci产 飞-2e气
4 (14)忑 3
解 如图所示互关于yOz平面对称，x关于x为奇函数，从而§xdS = O.
由变量的轮换对称性
扩 得扩 yldS= lxldS= �lzldS.
所以
工2+
'y--24
,::;;J
I = I 1 -I2 = 六．
09)证令h(x) =f(x)-g(x),则h(a)=h(b) = O.
设f(x),g(x)在(a,b)内的最大值M分别在 aE(a,b),/JE(a,b)取得．
当a = /3时， 取 r; = a'则h(r;) = O. 当妇勺3时，
r
I'
y M(xM ,Yu)
。
r
x :N(xN ,YN )
D 项［几 (x,y)dx+1: (x,y)dy = 0,
1: 因为将J(x,y) = 1求全微分得 工 (x ,y)dx+J:(x,y)dy = O.正确答案为 B.
(7) A
解 因为
Ca 1 — a 2 )+(a 2 -a 3 )-f--(a厂 a 1 ) = O,
所以向量组a1 -a2 ,a2 -a 3 ,a3 — a1线性相关．故应选A.
(8) B
解 根据相似的必要条件：区a;; = �仇，易见 A 和 B 肯定不相似．由此可排除 A 与 C.