419
附录A 拉普拉斯变换及反变换
1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1
线性定理
齐次性 [()]()L af t aF s =
叠加性
1212[()()]()()L f t f t F s F s ±=±
2
微分定理
一般形式
=
-=][ '- -=-=----=-∑1
1
)1()
1(1
22
2)
()()
0()()(0)0()(])([)0()(])
([
k k k k n
k k n n n
n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时
)(])([s F s dt
t f d L n n
n =
3
积分定理
一般形式
∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=+
+=+=
n
k t n n k n n n
n t t t dt t f s s s F dt t f L s
dt t f s dt t f s s F dt t f L s
dt t f s s F dt t f L 10
102
2022
]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个
共个
共
初始条件为0时
n n n s
s F dt t f L )
(]))(([=⎰⎰个
共
4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--
5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-
6 终值定理 )(lim )(lim 0
s sF t f s t →∞
→=
7 初值定理
)(lim )(lim 0
s sF t f s t ∞
→→=
420
8 卷积定理
1212120
[()()][()()]()()t t
L f t f d L f t f t d F s F s τττττ-=-=⎰⎰
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序
号 拉氏变换E(s)
时间函数e(t) Z 变换E(z)
1 1
δ(t)
1 2 Ts
e --11
∑∞
=-=0
)()(n T nT t t δδ
1
-z z 3 s
1 )(1t
1
-z z 4 21s
t
2
)1(-z Tz
5 3
1s 2
2t
3
2
)1(2)1(-+z z z T
6 11+n s
!n t n
)(!)1(lim 0aT n n n a e
z z a n -→-∂∂- 7 a
s +1 at e -
aT
e z z
-- 8 2
)(1a s +
at
te
- 2
)(aT aT e z Tze ---
9 )
(a s s a
+ at
e
--1
)
)(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 )
)((b s a s a
b ++-
bt at e e ---
bT
aT e z z
e z z ----- 11 2
2ωω
+s t ωsin
2
sin 2cos 1
z T
z z T ωω-+ 12 2
2ω+s s t ωcos
1
cos 2)cos (2
+--T z z T z z ωω 13 2
2
)(ω
ω
++a s t e at ωsin - aT
aT aT e T ze z T
ze 22cos 2sin ---+-ωω 14
2
2)(ω+++a s a s
t e
at
ωcos -
aT
aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω
421
15
a
T s ln )/1(1- T t a /
a
z z - 3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式
11
10
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将
)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)
(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n
i i
i
n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11)( （F-1）
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i
-=→ （F-2）
或
i
s
s i s A s B c ='=
)()
( （F-3）
式中，
)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝t
s n i i i
e c -=∑1
(F-4)
② 0)
(=s A 有重根
设0)
(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())
()()()
(11n r r
s s s s s s s B s F ---=
+
422
=
n
n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+
+-++-+-++-+-++-- 11
111111)()()(
式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
)()(lim 11
s F s s c r s s r -=→
)]()([lim
111
s F s s ds
d
c r s s r -=→-
)()(lim !11)()
(1s F s s ds
d j c r j j s s j
r -=→- (F-5)
)()(lim )!1(11)1()
1(11s F s s ds
d r c r r r s s --=--→
原函数)(t f 为
[])()(1s F L t f -=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11
111
1111)()()
( t s n
r i i t s r r r r i
e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211
1
)!2()!1( （F-6）。