克莱姆算法步骤
1. 2.
D for 2.1. 2.2.
( j1 jn )
t ( 1 ) a1 j1 a 2 j2 a nj n
i 1 n Di
( i1 i n ) t ( 1 ) a i1 1 bi2 j a in n
Di xi D
N=[(n2-1)n!+n]flop
每周有课外练习，两周交一次作业， 一学期完成 3 个综合程序课题设计。 考试评分： 平时作业+程序占总成绩的30%，
期末考试占总成绩的70%，开卷考试。
Matlab_zm@ 密码 123456
数值分析
数值分析
第二节 数值问题与数值算法
求数学问题的数值解称为数值问题.
数值方法：适合在计算机上，按确定顺序依次进行计算 的计算公式，也就是通常所说的数值计算方法。 数值算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算
有递推公式
注意
计算量 N n flop
Pn ( x) x( x( x( x(an x an1 ) an2 ) a1 ) a0
数值分析

sn an sk xsk 1 ak P n ( x) s0
k n 1,,2,1,0
数值分析
例3 矩阵乘积AB的计算量分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
我们把在电子计算机上进行的科学工作称为科学计算。 科学研究的方法: 科学理论,科学实验,科学计算 科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
数值分析
数值分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
科学计算的步骤:实际问题→数学模型→数值方法 →程序设计→上机计算→分析结果。 1、建立数学模型（实际问题数学化） 2、设计计算方案（数学问题数值化）
数值分析
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一、误差的来源与分类
例1 记Lt 是金属棒在温度t的长度，L0是t0度时金 属棒的长度，求在任何温度下金属棒的长度。
根据热胀冷缩原理和物理实验，可建立如下 数学模型： l t L0 (1 t t )
2
这里L0是金属棒在t 0时的长度，、 为物理参数 并有如下估计：
有递推公式

sn an sk xsk 1 ak P n ( x) s0
k n 1,,2,1,0
需乘法n次，加法n次，存储单元n+3个。
数值分析
数值分析
算法A (输入a(i)(i=0,1，…,n),x;输出y）
t 1 u a (0) for i 1 : n t x*t u u a(i ) * t end
Ax=b A可逆
由线性方程组的克莱姆(Cramer)规则可知,如果方程组 (1)的系数矩阵A的行列式(一般记为D=|A|)不等于零,那末,这 个方程组有唯一解,而且它们可以表示为 xi=Di/D (i=1,…,n)
这里,Di是指D中第i列元素用右端（b1,… bn）代替构成的行列 式。
数值分析
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a a a …a a a a …a ...... … ... a a a …a
11 12 13
1n
21
22
23
2n
m1
m2
m3
mn
b b b … b b b b … b ...... … ... b b b … b
11 12 13 21 22 23 n1 n2 n3
1s 2s
=[cij]ms
ns
A
数值分析
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学习重点:
1. 构造数值方法的原理（支撑理论） 迭代法,以直代曲,化整为零,外推法
2. 评价数值方法的好坏 （研究数值方法的性态、可靠性、效率） 3. 数值方法的计算机实现（计算机实习） 要掌握高级编程语言: FORTRAN, C ， Matlab
数值分析
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Matlab几个显著特点:
Cij aik bkj
k 1 n
B
i 1,, m; j 1,, s
A B 的计算量为N= (m n s )flop
数值分析
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例4 ：求解n元线性方程组 a11x1+a12x2+ … +a1nxn=b1 ……………… an1+an2x2+ … +annxn=bn
(1)
数值分析
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例5 下面给出矩阵-向量乘法的几个基本算法
设 A R
mn
, x R , y R ，计算 Ax y ,
n m
存Hale Waihona Puke 在 y 中。即yi aij x j yi ,
j 1
n
i 1, , m
算法 A（行型）: 算法 B（列型）: for i = 1 : m for j = 1 : n for i = 1 : m for j = 1 : n y(i) =A(i,j)* x(j ) + y(i) y(i) =A(i,j)* x(j ) + y(i) end end end end
数值分析
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4、舍入误差 用计算机计算，由于计算机字长有限而在 数值运算的每一步所产生的误差称为舍入误差。在例2 中的用4位浮点机计算 1 所产生的误差
6 1 0.1667 0.0000334 就是舍入误差。 6
数值分析
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二、截断误差分析
例1：(截断误差)
x
1 2 1 3 1 n 已知e 1 x x x x , 2! 3! n! 求e 1的近似值，并估计误差。
0.001253 10 6 , 0.000068 10 6
1 、模型误差 数学模型与实际问题之间出现的这种误 差称为模型误差。在例1中， Lt lt 就是模型误差。
数值分析
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一、误差的来源与分类
2、观测误差 通过仪器观测，确定数学模型中的参数所 引起这种的误差称为观测误差。在例1中的106 就是观测 误差。 例2 求e x的近似值。 1 2 1 3 1 n x e 1 x x x x , 2! 3! n! 1 2 1 3 S3 ( x ) 1 x x x 2! 3! 3、截断误差 模型的准确解与某种数值方法的准确解之 间的误差称为截断误差或方法误差。在例2中， 1 4 x e S3 ( x ) x 就是截断误差。 4!
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主 讲：张 明 EMAIL: math2@ OFFICE：基础楼201 PHONE(H)：89741231
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数值分析
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第一章 绪 论
第一节 数值分析的研究对象和特点
数值分析实际上就是介绍在计算机上解决数学问 题的数值计算方法及其理论.这门课程又称为数值计算 方法.
需乘法3次，加法3次，存储单元6个。
数值分析
一般地，计算n次多项式的值
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P n ( x) an x an1 x
n
n1
a1x a0
算法A、需乘法2n-1次，加法n次，存储单元n+4个。 算法B、秦九韶算法1247 (又称为Horner算法1819)
Pn ( x) x( x( x( x(an x an1 ) an2 ) a1 ) a0
。
(输入x, 输出y）
计算量 N 14 flop
存储量=3
数值分析
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例2：计算多项式p( x) 3 x 3 4 x 2 2 x 6的值。
算法A：由x计算出x 2 , x 3后再算。
需乘法5次，加法3次，存储单元7个。
算法B：p( x ) x[ x(3 x 4) 2] 6
1 用Matlab处理矩阵——容易 2 用Matlab绘图——轻松 3 用Matlab编程——简洁 4 Matlab具有丰富的工具箱 本课程的基本目的，是使学生通过学习和实验，初 步建立并理解数值计算，特别是科学与工程计算的基本 概念，为进一步深入的学习打下坚实的基础。
数值分析
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基本要求
作业要求：
数值逼近: 函数插值，函数逼近，数值积分，数值微分，
常微分方程的数值解法.
数值分析
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数值分析的特点： 1、要根据计算机的特点设计有效算法。即算法只能包括 加、减、乘、除运算和逻辑运算。因此“归纳”成了不容 忽视的思维方法。 2、要有可靠的理论分析。即近似解能任意达到精度要求， 近似算法要保证收敛性和稳定性。因此讨论的核心问题是 “误差”。 3、要有好的计算复杂性。计算复杂性包括时间复杂性 和空间复杂性。时间复杂性好是指节省时间，空间复杂 性好是指节省存储量。因此这是在算法设计和程序设计 中要研究的问题。 4、要有数值实验。即任何一个算法都要通过数值试验证 明是行之有效的。
n
注意
计算量 N 2n flop
Pn ( x) an x an1 x
n1
a1 x a0
数值分析
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算法B （秦九韶算法） (输入a(i)(i=0,1，…,n),x;输出y）
p a ( n) for k n 1 : 1 : 0 p x * p a( k ) end
概率积分
2


t
0
e
x2
dx
t [0, )
数值分析
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第一章 绪 论
第一节 数值分析的研究对象和特点
硬件 计算机 软件 核心算法 数值算法 非数值算法 功能 算术与逻辑运算
计算机硬件的特点是快.软件就是利用计算机高速的 简单运算去实现各种复杂的功能。