公式适用范围： ①正应力小于比例极限σp； ②精确适用于纯弯曲梁； ③横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立,但当梁跨度 l 与高 度 h 之比大于5（即为细长梁）时上述公式近似成立。
使用此公式注意：公式中的M、y都用绝对值，σ的正负 由M的正负判断 M>0时：下侧受拉，中性轴以下σ>0，以上σ<0 M<0时：上侧受拉，中性轴以下σ<0，以上σ>0
32 d 式中: D
(1 - 4 )
型钢------查型钢表
组合图形
I z I zi , I yi
i 1 i 1 m
m
整个图形对某一轴的惯性矩（等于各个分图形对同 一轴的惯性矩之和。
I y1 I y b A
2
I z1 I z a A
2
举例1:
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中
2、 一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载， 梁的截面如图所示。已知： l 1.5m, q 8kN / m 求梁截面中的的最大拉应力和最压应力。
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压。纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态 。因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
纤维是天然或人工合成的细丝状物质
Z
中性轴
中性层
y
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层。
3 3
MA 3 106 k y 60 3.09MPa 7 IZ 5.832 10
A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边， 所以为拉应力。
3、图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的 长度l＝2m。yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝ 1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压 F y 应力。
简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式
惯性矩
bh3 IZ 12
hb3 Iy 12
I Z IY
d 4
64
Iz Iy

64
(D4 - d 4 )
D 4
64
(1 - 4 )
D 3
弯曲截 面系数
bh2 Wz 6
hb2 Wy 6
Wz Wy
d 3
32
Wz W y
力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求 B截面上a、b、c各点的正应力。 h 6 a F A z B h b C l 2 l 2 h2
FL
c
b
M B ya a IZ
b 0
1 1 h M B FL FL 2 2 3 3 1.65MPa （拉 ） 3 bh bh IZ 12 12 1 h FL M B yc 2 （压） 2 c 2 . 47 MPa 3 bh IZ 12
注：若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力

M M
σ-max
M
σmax
-max M
中性轴
max
空间分布图
平面分布图
二、正应力的计算公式(推导略——难点)
1.横截面上任意点正应力计算
My IZ
M为横截面的弯矩 y为计算点到中性轴的距离 Iz截面对Z轴的惯性矩，与截面形状和 尺寸有关 m4 , mm4
2.横截面上的最大正应力 M y1 M y2 t , c IZ IZ
当中性轴是横截面的对称轴时： 若：
y1 y2 ymax
则
t c max
Iz Wz y max
max
M y max M IZ WZ
Wz 称为抗弯截面系数 与截面形状和尺寸有关 M3 ，mm3
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
4m
200
100
竖放
max
qL2 8
M max WZ
横放
qL2 8 2 6MPa bh 6
max
M max WZ
qL2 8 2 12MPa hb 6
100
作业
1、 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F1 与F2作用，且F1=2、F2=5kN。试计算梁内的最 大弯曲正应力，及该应力所在截面上K点处的 弯曲正应力。
中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条 形心轴。且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯 曲变形时，各横截面绕中性轴转动。
横截面上正应力分布规律： 1、受拉区 : 拉应力，受压区 : 压应力； 2、中性轴上应力为零； 3、沿截面高度线性分布，沿截面宽度均匀分布； 4、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处。
例2 图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm， a=2m，F=1.5KN。 计算A截面上K 点的弯曲正应力。
解： 先计算截面上的弯矩
M A -Fa -1.5 2 -3kNm
截面对中性轴的惯性矩
bh 120 180 IZ 5.832 107 m m4 12 12
横截面上正应力的计算。
回顾与比较
拉压杆
内力
轴力
应力
连接件
N A
=V/A
F F
剪力
轴 扭矩
M n IP
梁 剪力和弯矩
变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲
一、梁横截面上的正应力分布规律
纯弯曲—只有M无V 平面弯曲 横力弯曲—V M同时存在
F
F
a
A
F F
Fa
a
B
F
纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截 面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯 弯曲。
实验现象
F F
m n
1、变形前互相平行的纵向直线、 变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
m
n
2、变形前垂直于纵向线的横向线 变形后仍为直线，且仍与弯曲了 的纵向线正交，但两条横向线间 相对转动了一个角度。
1、平面假设： 变形前杆件的横截面变 形后仍为平面。
A
B
150 50
l 2
l 2
96.4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 - 96.4 153.6mm 96.4mm

max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
y
max
6-4.1梁的 正应力计算
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 授课 授课 洪单平 12建筑工程 2013/3 教师 班级 时间 课 梁的弯曲应力（正应力） 课型 题 教学 讲练结合 方法 学 时 2
面授
教学 目的 教学 重点
教学 难点
掌握梁弯曲时横截面正应力分布规律；掌握正应力的计 算. 正应力分布规律；正应力的计算.