m, n, p = 0, ±1, ±2, ...
3.点阵及其基本性质
（1）. 点阵: 连结任意两点所得向量进行平移后能够复原 的一组点称为点阵.
X X
不是点阵
不是点阵
点阵
（2）. 点阵的二个必要条件: (a)点数无限多 (b)各点所处环境完全相同
(3). 点阵与平移群的关系:
(a)连结任意两点阵点所得向量必属于平移群. (b)属于平移群的任一向量的一端落在任一点阵点时, 其另一端必落在此 点阵中另一点阵点上.
第一章 晶体的特性与点阵结构
第一部分 晶体学基础
一 晶体学发展的历史
二 晶体的特性
三 晶体结构 （一）晶体结构的周期性 （二）点阵结构与点阵 （三）晶体结构参数
第二部分 晶体中的对称
一 晶体的宏观对称性 二 晶体的微观对称性
第一部分 晶体学基础
一、晶体学发展的历史
西汉，《韩诗外传》“凡草木花多五出，雪花独六出”
六方素格子、正方素格子、矩形素格子、矩形带心格子和平行四边形格子。
空间点阵的七种类型、十四种型式
(1) 七种类型 — 7种对称类型对应7个晶系
•
•
一维平移群表示为：Tm ma
m = 0, ±1, ±2, ……
2.二维点阵结构与平面点阵 1)实例 (a) NaCl晶体中平行于某一晶面的一层离子 结构:
结构基元: 点阵:
(b)石墨晶体中一层C原子
结构： x
结构基元： 点阵：
2)平面格子 连结平面点阵中各点阵点所得平面网格.
2)平面格子 连结平面点阵中各点阵点所得平面网格.
4.晶胞参数与原子坐标参数
(1).晶胞(Unit cell)
空间格子将晶体结构截成的一个个大小、形状相等，包含等同 内容的基本单位。
晶胞与点阵单位对应
各顶点为8个晶胞共用
(2).晶胞二要素 (a)晶胞的大小与形状 ---相应点阵单位的基本向量的大小和方向 (b)晶胞所含内容 ---晶胞内原子的种类、数量、位置
1869年，俄国晶体学家加多林用严密的数学方法推导出晶体 外形的32种对称类型，又称32点群，从而完成了晶体宏观对 称性的总结工作。 1885-1890年间，费多罗(俄国)，熊夫利斯（德国）、巴罗 （英国）各自用不同的方法独立的推出230个空间群。 在19世纪最后十年中，经典晶体学（即几何晶体学）建立起 来了。
现代结晶学的开始
1895年伦琴在研究阴 极射线引起的荧光现 象时，意外的发现了 X射线。
1912 年在劳厄思想的指导 下，夫里德里希和克尼平 (德国)用CuSO4· 5H2O晶体 做光栅进行实验，得出了 第一张X射线衍射图
1921年，劳厄为了解释晶 体的X射线衍射图，从一维 点阵对X射线的衍射出发， 推导出了决定晶体衍射方 向的劳厄方程
b a
a b
a b
a b
b a
正方格子
ab=90
a=b
六方格子
ab=120
a=b
矩形格子
ab 带心矩形格子 ab ab=90 ab=90
(一般)平行四边形格子
90 ab ab 120
平面格子的正当单位
为何无正方带心格子？
为何无六方带心格子？
b
a b
2a b
a
a b
全部这些平移构成二维平移群：
T ma nb
m
m, n = 0, ±1, ±2, ...
3. 三维点阵结构与空间点阵
1)实例: 结构：
NaCl
CsCl
金பைடு நூலகம்钠
金属镁
结构基元: Na+Cl点阵：
Cs+Cl-
Na
2Mg
(2)空间点阵单位:
c
a
b
Cl-: 0, 0, 0; Cs+: 1/2, 1/2, 1/2
晶胞内2个原子, 顶点处原子 0, 0, 0;
2/3 1/3
晶胞内原子 2/3, 1/3, 1/2
5. 正当点阵单位与正当晶胞
一定的点阵结构对应的点阵是唯一的， 而划分点阵单位的方式是多种多样的。
点阵结构
点阵
划分平面格子的规则 格子划分不能是任意的, 应在照顾对称性的条件下, 尽量选 取含点阵点少的单位做正当点阵单位, 相应的晶胞叫做正当 晶胞. 平面正当格子只有 4 种形状 5 种型式
6 自范性（自限性） ：
晶体在一定条件下能自发形成几何多面体的形状。由晶
体的生长速度的各向异性产生的。多面体的晶面数（F）、 晶棱数（E）、和顶点数（V）相互之间的关系符合公式 F+V=E+2
思考： 如何理解晶体的各向异性和均匀性？ 其本质是什么？
三 晶体结构
（一） 晶体结构的周期性
1.晶体的定义
点阵: •
•
•
•
•
•
2)基本向量(素向量)
a
• •
连结相邻两点阵点所得向量。 • • • 3)平移(translation) T
a
图形中所有点沿相同的方向平行移动相同的距离。
4)平移群(translation group)
图形中全部平移操作的集合。
•
•
2a
•
a
•
a
•
2a 3a
(3).晶胞参数 a, b, c; , , (a)与基本向量相应的三个互不平行的棱长，分别用a, b, c表示。
(b)三个基本向量的夹角, = b^c, = a^c, = a^b
晶胞参数 a， b， c ; α， β， γ
(4).原子坐标参数(原子分数坐标) — xj, yj, zj
斜射投影:
b a a
b
(001) 平面投影:
( 1 20)
(010)
(110)
(210)
b
a
(110)
2. 晶面间距 d(h k l) (1). 定义: 晶面指标为(h k l) 的一组平面点阵中相邻的两平面点阵面间 的垂直距离, 记作d(h k l)。 (210)
( 1 20)
d(210) (010) b a
与平面点阵本质相同, 绘制容易, 表达清楚.
3)平面点阵单位
3)平面点阵单位
顶点的点阵点为4个格子共有， 每个格子只含1个点阵点 棱上点为2个格子共有， 每个格子含2个点阵点
这些平行四边形称为平面点阵单位，
可分为：
素单位，含 ¼ x 4 = 1个点阵点
复单位，含2个以上点阵点
4)二维平移群: 将素单位中2个互不平行的边作为平面点阵的基本向量, 则两 两连接该平面点阵中所有点阵点所得向量可用这两个基本向 量表示:
(110)
d(010)
(2).意义：
d(110)
每一种晶体物质都有一套特征的d(h k l)，是晶体物相分析 的重要依据。
3.几个计算公式: (1).两原子间距离(键长): p1-p2 = |p1p2| = |(x2-x1)a + (y2-y1)b + (z2-z1)c| 当 = = = 90°时,简化为 p1-p2 = [(x2-x1)2a2 + (y2-y1)2b2 + (z2-z1)2c2 ]½ (2).晶面夹角:
为何无一般带心格子？
按正当点阵单位的划分原则--只有矩形带心格子是正当格子。
实为矩 形格子
格子中心点破坏了 6重轴对称
可取成更 小的正方
小格子不再是直角
六方格子中心带点破坏了6重轴的对称性；正方和一般平行四边形 可划成更小的格子；矩形划成更小的格子时则破坏了 4个角都是90 度的规则性。所以平面点阵有且只有五种正当点阵型式。
（1）.晶体:内部粒子（原子、分子、离子）或粒子集团在空间 按一定规律周期性重复排列而成的固体。 （2）.周期性：一定数量和种类的粒子在空间排列时，在一 定的方向上，相隔一定的距离重复地出现。 （3）.周期性结构的二要素： (a)周期性重复的内容 (b)周期性重复的方式 结构基元 周期的大小 和方向 点 阵
截长: 2a b 2c 4a 2b 4c 6a 3b 6c ra sb tc r s t 1/r 1/s 1/t 1/r:1/s:1/t
截数:
倒易截数: 倒易截数之比:
2 1 2
½ 1 ½ ½ :1: ½ 1:2:1 (1 2 1)
4 2 4
¼ ½¼ ¼ :½:¼ 1:2:1 (1 2 1)
6 3 6
当a = b = c, = = = 90°时:
cos-1
h1h2 k1k2 l1l2 ( h12 k12 l12 )(h22 k22 l22 )
(3).晶面间距, 当a = b = c, = = = 90°时:
d
( hkl )

a h 2 k 2 l 2
在微重力条件下生长的人胰岛素晶体的颗粒比地表环境下生长的晶体大得多
1669年，丹麦地质 学家斯蒂诺，通过 对石英晶体各种断 面的研究发现了晶 体学第一定律—— 晶面夹角定律。
在相同的温度、压力 条件下，成分和构造 相同的所有晶体，其 对应晶面间的夹角恒 等。
石英晶体
1848年间，法国科学家布拉维推出14种点阵型式(布拉维格子)。
这些平行六面体称为空间点阵单位， 素单位，含 1/8 x 8 = 1个点阵点 复单位，含2个以上点阵点
体心 (I)
可分为：
底心 (C)
面心 (F)
(3)空间格子(晶格):
将空间点阵按选定平行六面体单位用直线划分,可得空间 格子，也称为晶格。
c a
b
(4)三维平移群:
m
T ma nb pc
4 结晶一致性（均匀性）： 同一晶体的不同部分具有相同的性质。晶体每一点 上的物理效应和化学组成均相同。 5 各向异性 晶体性质随方位不同而有差异的特性。晶体的几 何度量和物理效应常随方向不同而表现出量上的差异。 注意：虽然晶体在多数性质上表现为各向异性， 但不能认为无论何种晶体，无论在什么方向上都表现 出各向异性。 产生的本质原因：晶体内部质点的有序排列。