0 12 3 4 x
-1
x0
-2
故函数f ( x) ln x 2x 6有一个零点
练习2:方程ln x 2x 6 0 在下列哪个区间 上有零点( C )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解法二:
ln x 2x 6
f x ln x gx 2x 6
y 2
>0
0
<0
y=ax2+bx+c 的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
0
x
ax2+bx+c=0 的根
两个不相等的 实数根x1 、x2
有两个相等的 实数根x1 = x2
没有实数根
函数的图象与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)即
b 2a
,0
没有交点
一、函数零点的定义：
对于函数 y f (x),把使 f (x) 0的实数 x
例1：求函数 f ( x) ln x 2x 6 的零点个数？
例 1：求函数 f (x) ln x 2x 6 的零点个数．
解：用计算器作出 x、f(x)的对应值表．
x
12345
f(x)
由 表 格 可 知 f(2)<0,f(3)>0 ， 即
f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内有零点．由
§3.1.1 方程的根与函数的零点
预备练习：求以下三个方程的根
(1)x2 2x 3 0 (2)x2 2x 1 0 (3)x2 2x 3 0
-1，3 1 无实数根
方程 函数y=0
函 数 的 图 象
x2－2x－3=0
y= x2－2x－3
y
.
.
2
.1Βιβλιοθήκη .－1 0 1 2 3 x
－1
－2 －3
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间
(a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0，
这个c也就是方程 f(x)=0 的根。
定理理解：判断正误 （1） f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。错
（2） 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)<0。 错
（3） f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。错
y
y
y
2
a
a
0
0b
-5
x
a 0 x1 b x
0
x
b
函数零点存在定理的三个注意-2 点：
1 函数是连续的。
-4
2 定理不可逆。
3 至少存在一个零点。
叫做函数 y f (x)的零点.
思考:零点是不是点？零点指的是一个实数. 函数y f (x)的零点
方程f (x) 0的实数根
函数y f (x)图象与x轴交点的横坐标
求下列函数的零点:
1 f ( x) x 1 2 f ( x) x2 4x 3
3 f ( x) 2x 4 4 f ( x) log2 x 1
这里，方程的实数根就是函 数图象与x轴交点的横坐标.
思考：一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的根与二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像有什么关系？
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：
判别式
-6
函数f ( x) ln x 2x 6在下列哪个区间
上有零点( C )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析: f 1 4 f 2 ln 2 2 0
f 3 ln 3 0 f 4 ln 4 2 0 f 2• f 3 0
变式2: 函数 f ( x) ln x 2x 6 在(2,3)上有多少个零点？
练习4:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有
零点( B )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
y
f(a)·f(b) ____ 0<（填＜或＞）．
0
x 2 .在区间(b,c)上__有__(有/无)零点； f(b)· f(c)____ 0<（填＜或＞）．
猜想： 若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有f(a)·f成(b)立< 0， 那么函数在区间(a,b)上有零点。
二、函数零点存在性定理：
. －4
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1
.y
.
2
1. . . －1 0 1 2 x
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
无实数根 无交点
1
0 12 3 4 x
-1
x0
-2
三、求函数零点或零点个数的方法：
(1)定义法：解方程 f(x)=0， 得出函数的零点。
(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象 与x轴交点的横坐标。 (3)定理法：函数零点存在性定理。
练习3:下列函数在区间（1，2）上有零
点的是( D )
(A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x³-5x-5 (C) f(x)=lnx-3x+6 (D) f(x)=ex+3x-6
答案：(1)x 1
(3)x 2
(2)x 1，x 3
(4)x 2
变式1: 函数f(x)=Lnx+2x-6在［2，6]上是否有零点 ？
观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象
1. f(-2)= 5 ，f(1) = -4
y
2
f(-2) f(1) < 0 (填“>”或“<”)－2 1
发现在区间(-2，1)上有零点
-1
－1 0 1 2 －1 －2
－3
2. f(2)= -3 ，f(4) = 5
－4
34x
f(2) f(4) < 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(2，4)上有零点 3
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与
函数零点是否存在某种关系？
观察函数f(x)的图像
1. 在区间(a,b)上___有_(有/无)零点；
于函数 f(x)在定义域(0,+∞)内是增函
数，所以它仅有一个零点．
例1:求函数 f ( x) ln x 2 x 6 的零点个数.
解法2：
函数y f ( x)的零点个数等于方程
ln x 2x 6 0的根个数 y
2
则ln x 2x 6
该方程的解个数等于函 数 1
y ln x与y 2x 6 的交点个数，如图