0)
a b
xi b
1
g1( X )
1
xi b
0
g2(X )
xi b
a b
0
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(3) 尽量降低维数和减少约束条件
①尽可能消去等式约束 ②去掉消极约束 ③通过变换减少约束
如 a x b,(a,b 0)
作代换 x a (b a) sin2 y
可消去上述两约束.
因为 当x a时,sin2 y 0 当x b时,sin2 y 1
* 因要用到二阶导数, 较麻烦.
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二.多目标问题的评价函数
常要求实现: 成本、重量、体积 利润、产量、承载能力
若兼顾多方面的要求，则成为多目标问题。
(1)主要目标法
在m个目标中选一个最主要的目标做目标函数,其余
全部转化为约束条件.
(2)统一目标法
----权系数
m
①线性加权和法 F ( X ) wi fi ( X )
i 1
式中, wi wi1wi2
----校正权系数(反映量级差异)
----本征权系数(反映相对重要程度)
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②分数法(乘除法)
先将单目标分成两类: a. 越小越好的单目标---成本、重量、体积等; b. 越大越好的单目标---利润、产量、承载能力等;
然后如下建立目标函数:
m1
w1 fi ( X )
一.数学模型的改进处理
目的: 改善性态; 加快收敛速度; 提高计算稳定性.
(1)设计变量应取相同的数量级
设计变量常存在量级差异: 模 数: 1-10 毫米; 齿轮齿数: 12-100多; 杆 长: 几百—几千毫米.
这在一维方法中选取初始进退距产生了困难.
改进办法: 将设计变量全部无量纲化和规格化.
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②通过设计变量的变化范围进行标度
当有
xid
xi
x ,g i i1,2,...,n
作变换
xi
xi xid xig xid
,i1,2,...,n
这样可使 xi 的值在(0--1)变化.
其反变换公式为 xi xi(xig xid ) xid ,i1,2,...,n
* 也可通过调整单位来达到目的.
显然,[fi ]大,不重要,反之则重要.因而可将权系数取为:
wi
1 [fi
]
2
故有
F(X ) m ( fi ( X ) fi0 )2 i1 [fi ]
④极大极小法
对于误差问题,可使最大误差达到最小,因而可如下建立目标
函数:
F ( X ) max fi ( X ) fi0 ,i1,2,...,m
可自动满足.
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(4)目标函数的尺度变换
对于二次函数, 若Hession矩阵的主对角线元素 的大小很悬殊, 则其等值线是一族扁平的椭圆. 利用梯 度法和共轭方向法求解时有困难—稍有计算误差,搜索 方向便有较大的偏离.
办法:通过变换,使Hession矩阵的主对角线元素 变为相同值.
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f1
f
2
o
f1
D x
x
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不能接受 不能接受
③评价函数 D m d1d2...dm
*特点: (1)越大越好;
(2)有一个单目标不能接受,则总方案不能接受.
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(4)分层序列法
先将各单目标按重要性进行排队,然后依次对各单目标求最优解. * 后者的可行域是在前者最优点附近给出的宽容带与D的交集.
f
f2
f1
D1
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(3)功效函数法
①功效函数
对各单目标引入功效函数: di Di ( fi ),i1,2,...,m
* fi很满意时,di 1 ;不能接受时,di 0 ;其余 di 0 1
②建立功效函数的方法
有指数法、折线法、直线法等，仅介绍直线法。
满意
1
1
1
不能接受 满意
满意 不能接受
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假定 F ( X ) ax12 bx1x2 cx22 dx1 ex2 f
Hession矩阵的主对角线元素
2F(X x12
)
2a,
2F(X x22
)
2c
作变换

xˆ1 2a
xˆ1 , 2F
x2
xˆ2 2c
xˆ2 2F
x12
x22
可将Hession矩阵的主对角线元素全部化为1.
F(X)
i 1 m2
w2 f j ( X )
j 1
越小越好 越大越好
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③平方加权和法
若已知各单目标相应有理想的希望值:
f10 ,
f
0 2
,...,
f
0 m
,
通常如下
建立误差函数: m
F ( X ) wi[ fi ( X ) fi0 ]2
i 1
权系数由各单目标允许的宽容值 [fi ] 决定: fi fi0 [fi ]
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(2)各约束函数值应取相同的数量级
利用罚函数法解题时,灵敏度高的先满足, 灵敏度低的则很 难满足.
①利用系数来调整约束的数量级
gu (X ) 0
ku gu ( X ) 0 ku为正数
②将约束条件规格化 例1 [ ] g( X ) 1 0 [ ]
例2
a
xi
b(b
1
①用初始点的各分量进行标度
若初始点 X (0) x1(0) x2(0) ... xn(0) T 为优化问题的近似解, 可
改用
xi
xi
/
x , (0) i i1,2,...,n
作设计变量.
求出最优解后再转换成原设计变量:
xi
x x , (0) i i i1,2,...,n
新问题的初始点应为: X (0) 1 1 ... 1T