2009年南开大学802高等代数考研 真题
2010年南开大学802高等代数考研 真题
2011年南开大学802高等代数考研 真题
一、（20分）设A为秩为1的n阶复方阵，A的迹tr（A）＝a≠0，试 求出A的所有特征值（写出重数）。
二、（20分）设V为4维实线性空间，ε1，ε2，ε3，ε4为一组基，已 知V上线性变换T在基ε1，ε2，ε3，ε4下的矩阵为
4 设V为数域P上的3维线性空间，已知V上线性变换T在基ε1， ε2，ε3下的矩阵为
试求V的一组基使得T在该基下的矩阵为
5 设n阶实矩阵P满足P1＝P2，试求出P的所有可能的特征值。 二、（20分）设A1，A2，…，Am为n阶方阵，且r（A1A2…Am）＝ r（Am）。证明：对任何1≤j，k≤m，齐次线性方程组AjAj＋1…AmX＝0 与AkAk＋1…AmX＝0同解。 三、（20分）设S，T都是半正定实对称n阶方阵，证明：det（S＋ T）≥（detS＋detT）/2。 四、（15分）设A，A－In都是n阶实对称正定矩阵，证明：In－A－ 1也是正定矩阵。 五、（15分）设f（x，y）为线性空间V上的非退化双线性函数，证
四、已知矩阵
与矩阵
（1）求x，y； （2）求阵。证明：s－秩（Es－AA′）＝n－秩（En－A ′A）。
六、设A为对称矩阵，存在线性无关的向量X1，X2使X1′AX1＞0， X2′AX2＜0，证明：存在线性无关的向量X3，X4使X1，X2，X3，X4线 性相关，且X3′AX3＝X4′AX4＝0。
（1）aij＞0，i＝1，2，…，n；
（2）aij＜0，i≠j；
（3）
，k＝1，2，···，n。
试求A的秩r（A）。
2 设A＝（aij）n×n为数域P上的n阶方阵，定义Pn×n上的线性变换T 使T（X）＝AX，X∈Pn×n，试求T的迹和行列式。
3 设P为数域，c0，c1，…，cn－1∈P，令
试求A的最小多项式。
2004年南开大学高等代数考研真 题
2005年南开大学高等代数考研真 题
2006年南开大学高等代数考研真 题
2007年南开大学高等代数考研真 题
2008年南开大学802高等代数考研 真题
一、计算题（每题12分，共60分，请写出必要的计算步骤）
1 设n阶实矩阵A＝（aij）n×n满足条件
七、设σ，τ为线性变换且σ有n个不同的特征值。证明：若στ＝τσ， 则τ可由I，σ，σ2，…，σn－1线性表出。其中I为恒等变换。
八、f（x）是A的特征多项式。存在互素且次数分别为p，q的多项 式g（x），h（x）且f（x）＝g（x）h（x）。求证：秩g（A）＝q，秩 h（A）＝p。
九、A，B都是反对称矩阵，且A可逆。求证|A2－B|＞0。
六、（15分）设A，B为数域P上的n阶方阵，满足方程aA2＋bAB＋ cB＝0，其中a，b，c为非零常数，证明：（cE＋bA）为可逆矩阵。
七、（15分）设A，B为数域P上的n阶方阵，且r（A）＝ r（BA），证明：对任何自然数l，有r（Al）＝r（BAl）。
八、（15分）设V为复数域上的4n维线性空间，证明：存在V上的 线性变换T使得T4＝－id，其中id为恒等变换。证明满足上述条件的线性 变换必然在某组基下的矩阵为对角矩阵。
明：对于任何g∈V*，存在唯一的α∈V，使得g（β）＝f（α，β）， ∀β∈V。
六、（10分）设T为欧几里得空间V上的线性变换，满足条件 ∀x，y∈V，（Tx，y）＝－（x，Ty）或（Tx，y）＝（x，Ty）至 少有一个成立。 证明：T或为对称变换或为反对称变换。
七、（10分）设A，B为n阶复方阵，C＝AB－BA，证明：如果C与 A可交换，则C为幂零矩阵。
（1）试求出T的特征值与特征向量； （2）试分别求出T的核kerT与象imT的一组基与维数。 三、（20分）设实矩阵
A＝
试将A写成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵T的乘积。
四、（20分）设A为实反对称矩阵，证明：E－A10一定是正定矩 阵。
五、（15分）设V为一个欧氏空间，T为V到V的一个映射，满足条 件：|Tα|＝|α|，∀α∈V，试问T是否一定是V上的正交变换？说明理由。
一、设n阶行列式 2，…，n。对任意x，求n阶行列式
，且满足aij＝－aji，i，j＝1，
二、已知向量α1，α2，β1，β2，β3。V1是由α1，α2组成，V2是由 β1，β2，β3组成。求V1＋V2和V1∩V2的维数和一组基。
三、
（1）证明A2014＝－A2012＋A2＋E； （2）求A2014。
九、（10分）数域P上一个n阶方阵A称为幂零的，如果存在自然数 m使得Am＝0。设A＝（aij）n×n为一个幂零方阵，且a12≠0，a13＝0，a22 ＝0，a23≠0，证明：不存在矩阵B使得Bn－1＝A。
2012年南开大学804高等代数考研 真题
2014年南开大学高等代数考研真 题（回忆版）
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