2.2 函数的表示法
课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．
1．函数的三种表示法
(1)列表法——用________的形式表示两个变量之间函数关系的方法． (2)图像法——用________把两个变量间的函数关系表示出来的方法．
(3)解析法——一个函数的对应关系可以用________的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．
2．分段函数：对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
一、选择题
1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )
A ．y ＝50x (x >0)
B ．y ＝100x (x >0)
C ．y ＝50x (x >0)
D ．y ＝100
x
(x >0)
2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．如果f (1x )＝x
1－x
，则当x ≠0时，f (x )等于( )
A.1x
B.1x －1
C.11－x
D.1x －1
4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7
5．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －5 (x ≥6)
f (x ＋2) (x <6)，则f (3)为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图像上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为_________________________________________________．
8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1
x
)＋x ，则f (x )的解析式为____________．
9．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3 (x ≥9)
f [f (x ＋4)] (x <9)，则f (7)＝______________.
三、解答题
10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图像过(0,3)点，求f (x )的解析式．
11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图像，并根据图像回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；
(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．
能力提升
12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )
A ．y ＝[x
10] B ．y ＝[x ＋310]
C ．y ＝[x ＋410]
D ．y ＝[x ＋5
10
]
13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．
1．如何作函数的图像
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
2．2 函数的表示法
知识梳理
1．(1)表格 (2)图像 (3)自变量 作业设计
1．C [由x ＋3x
2·y ＝100，得2xy ＝100.
∴y ＝50
x
(x>0)．]
2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]
3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x
1－x ，
则有f(t)＝1t 1－
1t ＝1
t －1，故选B .]
4．B [由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2， 代入g(x ＋2)＝2x ＋3， 则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1， 故选B .] 5．A [∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]
6．B [当t<0时，S ＝12－t 22，所以图像是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，1
2
)；当t>0
时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，1
2)．所以B 满足要求．]
7．y ＝1
2x ＋12
解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12
. 所以所求的函数解析式为y ＝1
2
x ＋12.
8．f(x)＝－x 2＋2
3x
(x ≠0)
解析 ∵f(x)＝2f(1
x )＋x ，①
∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1
x .②
由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x
3，
即f(x)＝－x 2＋2
3x
(x ≠0)．
9．6
解析∵7<9，
∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.
10．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝f(4)知
⎩⎪
⎨
⎪⎧f(0)＝c，
f(4)＝16a＋4b＋c，
f(0)＝f(4)，
得4a＋b＝0.①
又图像过(0,3)点，
所以c＝3.②
设f(x)＝0的两实根为x1，x2，
则x1＋x2＝－b
a
，x1·x2＝c
a.
所以x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－b
a)2
－2·c
a
＝10.
即b2－2ac＝10a2.③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.所以f(x)＝x2－4x＋3.
11．解因为函数f(x)＝－x2
x…－2－101234…
y…－503430－5…
连线，描点，得函数图像如图：
(1)根据图像，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)<f(0)<f(1)．
(2)根据图像，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．
(3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
12．B[方法一特殊取值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以选B.
方法二设x＝10m＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，
[
x＋3
10]＝[m＋
α＋3
10]＝m＝[
x
10]，
当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x
10]＋1，
所以选B.]
13．解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，
有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。