§1.6 函数极限的性质和收敛准则上一节我们引入了六种函数极限，即 ⑴ )(lim x f x +∞→ ⑵ )(lim x f x −∞→ ⑶ )(lim x f x ∞→⑷ )(lim x f ax +→ ⑸)(lim x f ax −→ ⑹ )(lim x f ax → 它们具有与数列极限相类似的性质和收敛准则，证明方法也相类似。

我们这里仅就第⑹种类型的极限作为代表来叙述其某些性质并证明其中一些，其他五种情形的性质及证明只要相应修改一下即可。

一、函数极限的性质1Th （唯一性）如果)(lim x f ax →存在，则必定唯一。

证一：设)(lim x f ax →A =，B x f ax =→)(lim 。

则,0,01>∃>∀δε当1||0δ<−<a x 时，ε<−|)(|A x f (1),02>∃δ当2||0δ<−<a x 时，ε<−|)(|B x f (2)取{}2,1min δδδ=，则当δ<−<a x 0时（1）和（2）同时成立。

因而有ε2)()())(())((<−+−≤−−−=−B x f A x f B x f A x f B A ……（3） 由ε的任意性，（3）式只有当0=−B A 时，即B A =时才成立。

证二：反证，如)(lim x f ax →A =，B x f ax =→)(lim 且B A >，取20BA −=ε，则0>∃δ，使当δ<−<a x 0时，00)(,)(εε<−<−B x f A x f 即2)(200BA B x f A B A +=+<<−=+εε 矛盾。

2Th （局部有界性）如果)(lim x f ax →存在，则()U a ∃o使)(x f 在()U a o内有界。

证：设b x f ax =→)(lim ，则对10=ε，00>∃δ，当00δ<−<a x 时有1)(<−b x f从而()()1f x f x b b b ≤−+<+令b M +=1，则当00δ<−<a x 时有 ()f x M <。

Th3（保序性）设b x f ax =→)(lim ，c x g ax =→)(lim1） 若c b >，则00>∃δ，当00δ<−<a x 时有)()(x g x f >； 2） 若00>∃δ，当00δ<−<a x 时有)()(x g x f ≥，则c b ≥。

证：1） 取20cb −=ε即得。

2）反证，由1）即得。

推论（保号性）如果b x f ax =→)(lim 且0≠b ，则00>∃δ使当00δ<−<a x 时)(x f 与b 同号。

4Th （四则运算法则）若)(lim x f ax →与)(lim x g ax →都存在，则))()((lim x g x f ax ±→，)()(lim x g x f ax →皆存在，且))()((lim x g x f ax ±→=)(lim x f ax →±)(lim x g ax →)()(lim x g x f ax →=⋅→)(lim x f ax )(lim x g ax →又若)(lim x g a x →0≠，则)()(lim x g x f a x →也存在且)()(lim x g x f a x →=)(lim )(lim x g x f ax a x →→（证略）。

特例：若)(lim x f ax →存在，则对任意常数c 有)(lim )(lim x f c x cf ax ax →→=。

Th5 （复合函数求极限法则）（或叫变量替换法则） 若)(lim x g ax →A =，B u f Au =→)(lim ，则当下面两个条件1）0>∃δ，当(,)x U a δ∈o时，A x g ≠)( 2）f 在A 点有定义且)(A f B =有一个满足时都有B u f x g f Au ax ==→→)(lim ))((lim（证略）。

求极限之例：例1：2241lim lim 5lim 2lim lim 152lim 1211121221==+++=+++−→−→−→−→−→−→x x x x x x x x x x x x 例2：)1311(lim 31+−+−→x x x解：1−→x 时13,113++x x 极限都不存在，所以不能直接应用四则运算法则。

但当1−≠x 时有 121)2)(1(1311233−−−=+−+=+−+x x x x x x x x 所以=+−−=+−−=+−+−→−→−→−→)1(lim )2(lim 12lim )1311(lim 2112131x x x x x x x x x x x x 1−=L 例3：13132lim 22−−+−∞→x x x x x解：由于1lim 0x x →∞=，而222211313213132xx x x x x x x −−+−=−−+−，故 2002)132(lim 2=+−=+−∞→x x x 且3003)113(lim 2=−−=−−∞→x x x因此，原式32=。

例4：)34(lim 22+−++∞→x x x x解：由于==，故原式lim 2x ===其中，141lim=++∞→x x 的求法是根据1)41(lim =++∞→x x 、a u au =→lim （上节习题）及复合函数求极限法则而得。

例5：证明)1,0.(lim ,1lim 00≠>==→→a a a a a xxx x xx（留作自学内容。

书上有）。

例6：01limx x→− 解：令t x =+1，则0→x 时1→t ；且当0≠x 时1≠t 。

故0001111limlim )1x t t x x x x x t αα→→→→−===− 例7：38231limxx x +−−−→解：令t x =3，则3x t =；且当8−→x 时2−→t ；8−≠x 时，2−≠t 。

故)31)(2(31lim 231lim 231lim3323238+−+−−=+−−=+−−−→−→−→t t t t t xx t t x )31)(2(8lim 332+−+−−=−→t t t t261231)42(lim322−=−=+−+−−=−→t t t t二、函数极限存在的判别准则数列极限与函数极限之间的联系：6Th （Heine 定理，海涅定理或叫归结原则）设)(x f 在a 点的某个去心邻域()U a o内有定义，则极限b x f ax =→)(lim 存在的充要条件是：对任何以a 为极限且含于)(a U o的数列{}n a 都有b a f n n =∞→)(lim 。

（证明可不作要求）注：⑴ 此Th 说明函数极限与数列极限之间的联系，它把函数极限问题 归结为数列极限问题来处理，因此有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。

⑵ 这里给出a x →时的归结原则，其它类型的归结原则可类似给出。

⑶ 利用该定理可判断函数极限不存在。

方法如下：i） 在)(a U o内找到一数列{}n a ，a a n → 但)(lim n n a f ∞→不存在。

ii）在)(a U o内找到两数列{}'n a ，{}"n a ，a a a n n n n ==∞→∞→"'lim lim ，但)(lim )(lim "'n n n n a f a f ∞→∞→≠方法ii））比i）更方便、常用。

例：证明xx 1sinlim 0→不存在。

证：令221ππ+=n a n ，πn b n 21=，0lim lim ==∞→∞→n n n n b a 但122sin(1sin →+=ππn a n ，02sin 1sin==πn b n 。

故xx 1sin lim 0→不存在。

海涅定理的证明：（必要性）b x f ax =→)(lim ，则0>∀ε，0>∃δ，当δ<−<a x 0时，有ε<−b x f )(∈n a )(a U o且a a n n =∞→lim 。

对上述的0,0n ∃>δ，当0n n >时有δ<−<a a n 0，从而ε<−b a f n )(，即b a f n n =∞→)(lim充分性：（反证法）设f 定义在),('δa U o上，如lim ()x af x b →≠，则00>∃ε，0>∀δ，δx ∃，δδ<−<a x 0，但0)(εδ≥−b x f取, (2),...,2,2'2''n δδδδ=则∃相应的,...,...,,21n a a a尽管20'1δ<−<a a ，但 01|)(|ε≥−b a f ；20'2δ<−<a a ，但 02|)(|ε≥−b a f (2)0'δ<−<a a n ，但 0|)(|ε≥−b a f n ……),(}{δ′⊂⇒a U a n o且a a n n =∞→lim但n ∀，)(n a f 与b 的距离始终大于等于0ε，这与)()(∞→→n b a f n 矛盾。

#7Th （两边夹定理，迫敛性）如)(x f 、)(x g 和)(x h 均在)(a U o 内有定义，且当()x U a ∈o时，有)()()(x h x g x f ≤≤，b x h x f ax ax ==→→)(lim )(lim 则极限)(lim x g ax →存在且等于b 。

证：（完全可以根据δε−定义推出，这里用另一种方法）由Heine 定理，只须证对任一)(a U o中满足a a n n =∞→lim 的数列}{n a 都有ba g n n =∞→)(lim 成立即可。

由假设，)()()(n n n a h a g a f ≤≤ L ,2,1=n由Heine 定理及b x h x f ax ax ==→→)(lim )(lim 得 =∞→)(lim n n a f b a h n n =∞→)(lim再由数列的两边夹定理知b a g n n =∞→)(lim再由Heine 定理知 b x g ax =→)(lim #8Th （Cauchy 收敛准则）设)(x f 在),('δa U o内有定义，则极限)(lim x f ax →存在的充要条件是：0>∀ε，0>∃δ（δδ′<）使对任何x ′，x ′′(,)U a δ∈o都有ε<′′−′|)()(|x f x f 。