数值积分的理论及其应用研究数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用张冲聪（西安文理学院数学系陕西西安 710065）摘要：数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用的探讨是计算数学的一个重要课题，数值积分是数学上的重要课题之一，是数值分析中的重要内容之一，也是数学的研究重点。

并在实际问题及应用中有着广泛的应用。

常用于科学与工程的计算中，如涉及到积分方程，工程计算，计算机图形学，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有很重要的意义。

研究方法有插值法和抽样插值法等。

当然大家都知道计算积分可以借助原函数和查找积分表，但是，用这些方法只能解决很狭隘的一类积分，而且在计算的过程中，肯定会产生误差，我们要想法子使得误差尽可能的小。

因此，数值积分的公式应满足：计算简单，误差小，代数精度高等。

首先，我们通过构造函数并运用罗必达法则探讨数值积分中的矩形公式，梯形公式吧，抛物线公式，高斯公式的渐进性质。

结果表明，当积分区间的长度趋于零时，不但可以确定求积公式余项中的中介点的位置，还可以得到与之相应的修正公式，而且通过数值试验还能发现经过修正后的求积公式具有较高的代数精确度，我们可以通过构造函数运用分部积分的方法得到矩形公式，梯形公式吧，抛物线公式，高斯公式的推广并结合一些例子。

关键字：数值积分，矩形公式，梯形公式，抛物线公式，高斯公式近些年来，有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域，所以研究数值积分有很重要的意义。

设f是闭区间[]ba,上某一给定的可积函数，现在要计算定积分⎰dtxf)(，我们可以借助原函数，或借助函数逼近的方法来计算，对于不熟悉的我们也可以借助参考积分表。

但都有一定的局限性，由于许多函数的无定积分无法用简单的函数表达出来，如一些离散点上的函数。

在微积分理论中，我们知道了牛顿—莱布尼茨（N ewtou_Leibniz）公式⎰-=)()()(aFbFdxxf其中f(x)在闭区间[]ba,上连续，F（x）是被积函数f(x)的某一个原函数，但是对于很多实际问题都无能为力。

主要原因：1.被积函数f(x)的原函数F(x)理论上存在，但无法用简单函数表示出来，即无法用与上式计算，例如：x xe y xsin,等初等函数；2. 被积函数f(x)无法详尽描述，即没有可用的计算表达式，也就是如f(x)是在一些离散点上的函数，就无法显示微分方程的解。

3. 被积函数f(x)的原函数F(x),表示相当复杂，求值困难。

因此，需要研究计算定积分的近似方法，即数值积分法。

当然，可积函数的种类是极其多的，那么我们应该考虑满足：计算简单，误差小，代数精度高，故此，我们常寻找新的方法来修正已知的求积公式。

当()x f 的情况使得无法精确计算()dx x f ba ⎰时，若能已知()x f 在部分点上的函数值，利用已经学过的差值知识，可以构造一个多项式()x P 来逼近被积函数()x f ，而多项式()x P 为被积函数，在区间[]b a ,上的定积分是容易计算的，这样得到计算定积分()dx x f ba⎰的一种数值积分方法，即()()dx x p dx x f baba⎰⎰≈下面，我们就根据这一想法构造计算积分的各种近似计算公式。

（一）牛顿-柯特斯求积公式 一 梯形公式过b x a x ==10,两点作一次拉格朗日插值多项式)()()(1b f ab ax a f b a b x x L --+--= ()()()()()()b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x L ba ba +-=⎪⎭⎫⎝⎛--+--=⎰⎰21用()()x f x L 代替1得 ()()()()b f a f ab dx x f ba+-≈⎰2()1,1,4 称式()1,1,4为梯形公式，式()1,1,4也可以写成()()()1010x f A x f A dx b a x f +≈⎰ 其中0A =1A =2a b -。

图（1）给出了梯形公式的几何意义，()dx x f ba ⎰是以()x f y =为顶的曲边梯形的面积，()dx x L ba⎰1是以直线AB 为顶的梯形的面积，因此，梯形公式就是以梯形的面积来近似代替以()x f y =为顶的曲边梯形面积。

图（1） 定理4,1 若函数f(x)在[]b a ,上具有连续的二阶导数，则梯形公式的截断误差为 ()()()()()()ηf a b b f a f a b dx x f R ba''--=+--=⎰12231[]()b a ,∈η 证明：()()()()[]()()()dx b x a x f dx x L x f dx x L dx x f R babababa--''=-=-=⎰⎰⎰⎰!2111ξ其中，ξ是依赖于x 的函数。

由已知条件()x f ''在[]b a ,上连续，而()()0≤--b x a x 在[]b a ,上不变号， 由积分中值中值定理，在[]b a ,上一定存在η，使得()()()()()()()()ηηξf a b dx b x a x f dx b x a x f baba''--=--''=--''⎰⎰63[]()b a ,∈η因此，()()ηf a b R ''--=1231 []()b a ,∈η 定理得证。

例题 对n=1公式估计截断误差解 对这种简单情况我们可以直接积分公式()()ξ210))((21)()(y x x x x x p x y --=-并应用中值定理如下，得到精确误差：()()()()()()()()()()()),(121212121231022101010101ξξξy h dxx x x x y dx y x x x x y y h dx x y x x x x x x -=--=--=+-⎰⎰⎰其中.01x x h -=由于).)((10x x x x --在),(10x x 中不改变符号，还有())(2ξy 的连 续性，应用中指定理是可能的。

（二） 辛普森公式或Simpson 公式（抛物线公式）把区间[]b a ,二等分，2ab h -=，取ax =0，21ba h a x +=+=，b h a x =+=22三点，做二次拉格朗日插值多项式()()()()()()()()()()()()()()()()1202102210120*********x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x L ----+----+----=令th x x +=0，则()()()()()()()()()()()()210202102432112221x f x f x f h hdt t t x f t t x f t t x f dx x L ba++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+--=⎰⎰用()x L 2代替f(x)，则得()()()()()21043x f x f x f hdx x f ba++≈⎰（4,1,4）或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++-≈⎰b f b a f a f a b dx x f ba246 （4,1,5） 也可写成 ()()()()()2211x f A x f A x f A dx x f Oba++≈⎰其中620A B A A -==,()641a b A -=。

式（4,1,4）和（4,1,5）称为辛普森公式从几何上看是以抛物线为顶点的曲边梯形面积来近似代替()x f y =为顶的曲边梯形面积（见图2），所以辛普森公式也称为抛物线求积公式。

图2定理 4,2 若函数f(x)在[]b a ,上具有连续的四阶导数，则辛普森公式的截断误差为()()()()()()η4522880246f a b b f b a f a f a b dx x f R ba--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++--⎰= (4,1,6)例题 比较小区间分别为2h 与h 时应用Simpson 法则的结果，并获得一个新的截断误差估计。

解 假设数据误差可以忽略不计，我们比较这二种截断误差，令E1及E2分别表示对小区间分别为2h 与h 的误差，于是 ()()()()()()()(),180,180224421441ξξy h a b E yh a b E --=--=所以.1612EE = 区间折半时误差减少原来的161，现在他可以用来获取Simpson 法则截断误差的另一种估计，称I 为积分的精确值，二个Simpson 逼近值为A1及A2，则 21221116E A E A E A I +=+=+=解出2E ，区间h 相关的截断误差为().15122A A E -≈（三 ）柯特斯公式把区间[]b a ,四等分，4ab h -=，取ax =0，h a x +=1，h a x 22+=，h a x 33+=，b h a x =+=44为插值节点，做四次拉格朗日插值多项式4L ，并以4L 代替[]b a ,上做定积分，得()()()()()()()43210146424641445x f x f x f x f x f hdx x f ba++++≈⎰或 (4,1,7)()()()()()()()b f h a f h a f h a f a f ab dx x f ba733221232790+++++++-≈⎰(4,1,8) 也可以表示为 ()()()()()()()44332211x f A x f A x f A x f A x f A dx x f Oba++++≈⎰其中()90740a b A A -==,()323231a b A A -==,()90122a b A -=,式(4,1,7)及(4,1,8)称为柯特斯公式。

定理4,3 若函数f(x)在[]b a ,上具有连续的六阶导数，则柯特斯公式的截断误差()()()()()()()()()η67449458733221232790f a b b f h a f h a f h a f a f a b dx x f R ba⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++++++--=⎰[]b a ,∈η )9,1,4(例题 试用柯特斯公式计算定积分 dx x ⎰15.0解 h=0.125,)4,3,2,1,0(=+=k hk a x k,1,875.0,75.0,625.0,5.043210=====x x x x x()43096407.07875.03275.012625.0325.07905.015.0=++++≈⎰dx x 与积分的准确值()...4309640.0125.01325.01322315.0=-==⎰x dx x（四） 牛顿-柯特斯积公式（Newton-Cotes 公式） 把[]b a ,区间n 等分，其分点为ih a x i +=，i=0.1,2,...,n ，na b h -=过这n+1个节点，构造一个n 次多项式()()()()()i ni i i n x f x w x x x w x P ∑='-=0 其中，()()()()n x x x x x x x w ---=...10，用()x P n 代替被积函数f(x)，则有()()()()()()()()()()()i ni i i ni bax w x x x w ban i i x w x x x w ban b ax f A x f dx dxx f dx x P dx x f i i i i ∑∑⎰⎰∑⎰⎰=='-='-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==000（5,5）其中， ()()()⎰'-=b ai i i dx x w x x x w A 公式（5,5）叫做牛顿-柯特斯积公式（Newton-Cotes 公式），使用牛顿-柯特斯公式（Newton-Cotes 公式）的关键是计算系数iA ，用变量替换tha x +=，于是()()))...(1(1n t t t h th a w x w n --=+=+而()()()()!1!11--''='-i i h x w n i 这样()()()()()()()()dt it n t t t i n i h hdt i t h i n i h n t t t h dxx w x x x w A n n nnn n bai i i ⎰⎰⎰-----=-----='-=--+01011))...(1()!)(!()1(!!1))...(1( 引进记号()dt i t n t t t i n i n c n n n i ⎰-----=-01)())...(1()!)(!()1( （5,6）则 ()()n i i c a b A -=这时()n ic 是不依赖与函数f(x)和[]b a ,区间常数，可以事先计算出来，叫牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）系数。