yn1 yn dy h dx
常用方法
(2) 用数值积分近似积分
dy xn1
xn1
dx f ( x, y)dx (n 0,1, )
xn dx
xn
即
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
进一步: 令 yn1 y( xn1) , yn y( xn )
xn x0 nh, n 0,1,2 .
二、建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.
一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy
y xn1 yxn
xn1 xn
f xn , y(xn )
dx x y , n n
进一步 : 令 yn1 y(xn1) , yn y(xn )
y0 ( x x0 ) f ( x0 , y0 )
dx x y , 0 0
几何意义
等步长为h，则 x1 x0 h，可由切线算出y1 ： y1 y0 hf（x0 , y0）
逐步计算出y
y( x)
在
xn
点
1
的
值
：
yn1 yn hf（xn , yn） n 0，1，2，
注意：这是“折线法”而非“切线法” y 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！
能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多, 而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程 的数值解法
常微分方程数值解法
重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解
其一般形式为:
dy
dx
f (x, y)
y( x0 ) y0
a xb
(1)
假定
函数f ( x, y)连续, 且关于y满足利普希茨（Lipsc) L y y .
这样由常微分方程的理论知 :
初值问题(1) 解y y( x)存在并且唯一.
常微分方程数值解法
初值问题数值解的提法
所谓数值解法，就是寻求解y( x)在一系列离散节点 a x0 x1 x2 xn xN b
上的近似值 y0 , y1, y2 , yn , yN 相邻两个节点的间距hn xn1 xn称为步长。 如不特别说明，总是假定hi h(i 0,1,2 )为定数，
进一步: 令 yn1 y( xn1) , yn y( xn )
yn1 yn hf ( xn , yn )
h2
y( xn1 ) yn1
2
max y''( x)
a xb
三、Euler方法
已知初值问题的一般形式为:
dy
dx
f (x, y)
y( x0 ) y0
a xb
(1)
用差商近似导数 问题转化为
Y=y(x)
a
x 1 χx0
χ1χ2
2
χ3
b
χ
五、Euler方法的误差估计
为简化分析，先考虑计算一步所产生的误差，即假设
yn y(xn) 是精确的， 估计误差 R n1y(xn1)yn1
这种误差称为局部截断误差。 估计截断误差的主要方法是Taylor展开法，即将函数
y( x) 在 x n 处展开：
作等价变换,有
:
K1
f (xn , yn )
y(0) 1
四、几何意义
由 x0 , y0 出发取解曲线 y yx 的切线（存在！），则斜率
dy f x0, y0
dx x y
,
0
0
由于 f x0, y0 及 x0, y0 已知，必有切线方程。
由点斜式写出切线方程：
y y0 x x0 dy
yn1 yn dy
h
dx
yn1 yn hf ( xn , yn )
y
0
y( x0 )
(n 0,1,2,3,...)
Euler方法的迭代公式
Euler方法
yn1 yn hf ( xn , yn )
y
0
y( x0 )
(n 0,1,2,3,...)
令 K1f(xn,yn)
yn1 yn hK1
xn
2 [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )]
yn1
yn
h 2
[
f
(
xn
,
yn
)
f ( xn1,
yn1 )]
梯形方法为隐式算法
解决方法：有的可化为显格式，但有的不行
改进的Euler方法
与Euler法结合，形成迭代算法，对n 0，1，2，
注：Euler方法具有一阶精度，因此它的精度不高。
改进的Euler方法
六
改进的Euler方法
改进的Euler方法
已知初值问题的一般形式为:
dy
f (x,
y)
dx
y( x0 ) y0
a xb
(1)
利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式:
y( xn1 ) y( xn ) h
xn1 f ( x, y( x))dx
Euler法与改进Euler法
主要内容
主要内容： 一、 引 言 二、 建立数值解法的常用方法 三、 Euler方法 四、 几何意义 五、 Euler方法的误差估计 六、 改进欧拉法 七、四阶龙格库塔法 七、程序设计要求
一、引 言
许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方 程的定解问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及 生物群体的变化等.
得Euler方法的局部截断误差公式为
R n 1y(xn 1)yn 11 2h2y()
结论：上式说明Euler公式的局部截断误差为 O (h 2 ) 它的精度很差。
一般很少用它来求近似值，但是Euler法 却体现了数值方法的基本思想。
定义8.1 如果某种数值方法的局部截断误差为 O ( h p 1 ) ，则称该方法是p阶方法或 具有p阶精度。显然p越大，方法的 精度越高。
yn1 yn
xn1 xn
f (x,
y( x))dx
hf
( xn ,
yn )
宽
高
实际上是矩形法
常用方法
(3) 用Taylor多项式近似并可估计误差
y( xn1 )
y( xn
h)
y( xn ) hy'( xn )
h2 2!
y''( )
h2 y( xn ) hy'( xn ) 2! y''( xn )
y(xnh )y(xn)h y(xn)h 2 2y(xn)
取一次Taylor多项式近似函数，得
y(xn1)y(xnh)
y(xn)hy(xn)h22 y()
y(xn)h(x fn,y(xn) )1 2h2y()
y n h(x n f,y n ) 1 2 h 2 y () x n x n 1