莱布尼兹（1646－1716） 莱布尼兹（1646－1716）
• 看到中国的《河图洛书》，而对中国 看到中国的《河图洛书》 文化与哲学产生兴趣 • 向康熙皇帝申请加入中国籍 • 并在北京建立科学院
希尔伯特（1862－1943） 希尔伯特（1862－1943）
• 1885年获博士学位 1885年获博士学位 • 现代公理方法的奠基人。公理化方法 现代公理方法的奠基人。 起始于欧几里德，被高斯等发展， 起始于欧几里德，被高斯等发展，集 大成于希尔伯特 • 希尔伯特提出公理组建的三条原则： 希尔伯特提出公理组建的三条原则： 相容性、独立性、 相容性、独立性、完备性
公理集合论
• 1908年，法国数学家策墨罗等人提出 1908年 集合论公理，彻底排除了罗素悖论。 集合论公理，彻底排除了罗素悖论。 • 公理集合论到现在还没有出现任何悖 论，而保留了康托集合论的一切有价 值的东西。 值的东西。 • “为了防备狼，羊群用篱笆圈起来了， 为了防备狼，羊群用篱笆圈起来了， 尚不知圈里有没有狼。 庞加莱） 尚不知圈里有没有狼。”（庞加莱）
康托尔（1845－1918） 康托尔（1845－1918）
• • • • • • 集合论的创立是数学史上的重大事件。 集合论的创立是数学史上的重大事件。 提出集合的概念与运算 指出无穷集合的特征：部分＝ 指出无穷集合的特征：部分＝整体 可数集与不可数集的概念（康托公理） 可数集与不可数集的概念（康托公理） 康托三分集： 康托三分集：测度为零的不可数集 超限数理论： 超限数理论：势、基数
庞加莱（1854－1912） 庞加莱（1854－1912）
• 33岁当选法国科学院院士。 33岁当选法国科学院院士 岁当选法国科学院院士。 • 在34年的科学生涯中，发表500多篇 500多篇 34年的科学生涯中，发表500 年的科学生涯中 创造性论文，30种学术专著 种学术专著。 创造性论文，30种学术专著。 • 几乎涵盖纯数学与应用数学的所有理 论。 • 对全部数学都有创造性的掌握和开创 性的贡献， 性的贡献，能达到这种高度的最后一 人。
集合论与第三次数学危机
• 1902年，罗素将理发师悖论改造成 1902年 罗素悖论” “罗素悖论”，引发了第三次数学危 机。 • “一位乡村理发师，宣称他不给村子 一位乡村理发师， 里任何自己刮脸的人刮脸， 里任何自己刮脸的人刮脸，但给所有 不自己刮脸的人刮脸。 不自己刮脸的人刮脸。” • 理发师给自己刮脸吗？ 理发师给自己刮脸吗？
罗素悖论
• 康托集合会发生集合不是自己元素， 康托集合会发生集合不是自己元素， 又会发生集合是自己元素的情况。 又会发生集合是自己元素的情况。 • 如B＝{1,2,3,4},则B∉B {1,2,3,4},则 • 集合B是以10个以上的元素的集合为 集合B是以10个以上的元素的集合为 10个以上的元素的集合 元素组成的集合。 元素组成的集合。 B∈B • 罗素构造这样的集合： 罗素构造这样的集合： A∉ B={A| A∉A} 问题： 矛盾！ 问题： B∈B？ 矛盾！
希尔伯特（1862－1943） 希尔伯特（1862－1943）
• 1899年，名著《几何基础》出版，给 1899年 名著《几何基础》出版， 出了5 21条公理 条公理， 出了5组21条公理，是现代公理化方 法的样本 • 1922年，提出著名的“Hilbert纲 1922年 提出著名的“Hilbert纲 将古典数学公理化并形式化， 领”：将古典数学公理化并形式化， 用有穷的方法证明其无矛盾 （1931年哥德尔提出数论形式系统的不 1931年哥德尔提出数论形式系统的不 完全性，否定了该纲领） 完全性，否定了该纲领）
• 光辉成就的数学史，同时也是一部数 光辉成就的数学史， 学灾难史，悖论和危机此伏彼起， 学灾难史，悖论和危机此伏彼起，矛 盾和难题层出不穷
考试佯谬
• 老师在周末放学时对学生说： 老师在周末放学时对学生说： 条件一：下周要进行一次考试； 条件一：下周要进行一次考试； 条件二：到底哪天考试， 条件二：到底哪天考试，你们在考试 之前的任何一天都不能确知。 之前的任何一天都不能确知。 每周上课5 周一至周五） 注 ： 每周上课 5 天 （ 周一至周五 ） ， 每天都上一节课
微积分与第二次数学危机
• 17世纪发明了微积分。 17世纪发明了微积分 世纪发明了微积分。 • 当时微积分的逻辑不严密，特别在无 当时微积分的逻辑不严密， 穷小概念上存在着混乱。 穷小概念上存在着混乱。 • 1734年，英国哲学家伯克莱提出了悖 1734年 论。 • 经过18、19世纪众多数学家的精细研 经过18 19世纪众多数学家的精细研 18、 微积分在理论上完备了。 究，微积分在理论上完备了。
莱布尼兹（1646－1716） 莱布尼兹（1646－1716）
发明微积分的哲学家 此人本身就是一所科学院 样样皆通的大师 出身书香门第， 出身书香门第，从小就凸显出超常的 才智 • 15岁考ห้องสมุดไป่ตู้莱比锡大学法律系 15岁考入莱比锡大学法律系 • • • •
莱布尼兹（1646－1716） 莱布尼兹（1646－1716）
集合论与第三次数学危机
• 康托的集合论被称为朴素集合论， 康托的集合论被称为朴素集合论， 1871年康托对集合给了一个朴素的限 1871年康托对集合给了一个朴素的限 制宽松的定义： 制宽松的定义：“把一定的并且彼此 可以明确识别的事物—— ——可以是直观 可以明确识别的事物——可以是直观 的对象，也可以是思维的对象—— ——放 的对象，也可以是思维的对象——放 在一起，称为一个集合， 在一起，称为一个集合，这些事物称 为元素。 为元素。”
考试佯谬
考试佯谬这类逻辑悖论促使人们深入省思逻辑 考试佯谬这类逻辑悖论促使人们深入省思逻辑 系统的本质，它的能力和局限。 系统的本质，它的能力和局限。对形式化的逻 辑系统的研究有助于实现这个目的。 辑系统的研究有助于实现这个目的。在理论方 面：形式化逻辑系统帮助人们澄清逻辑系统的 元性质(一致性、完全性）、 ）、澄清基本的数学 元性质(一致性、完全性）、澄清基本的数学 哲学问题（例如，数学是否可以形式化－ 哲学问题（例如，数学是否可以形式化－希尔 伯特方案）；在应用方面： ）；在应用方面 伯特方案）；在应用方面：形式化逻辑系统在 理论计算机科学、计算机科学、人工智能、 理论计算机科学、计算机科学、人工智能、软 件工程等领域有着深刻的应用。 件工程等领域有着深刻的应用。
罗素悖论
• 逻辑代数的创始人弗雷格（1848－ 逻辑代数的创始人弗雷格（1848－ 1925）抱怨说： 1925）抱怨说：“当大厦即将竣工之 基础却崩溃了。 时，基础却崩溃了。” • 1908年，罗素指出“我们不能任意地 1908年 罗素指出“ 制造一个集合。 制造一个集合。” • 不承认B={A| A∉A}是一个集合，禁谈 不承认B={A| A∉A}是一个集合 是一个集合， 一个集合是自己的元素。 一个集合是自己的元素。
庞加莱（1854－1912） 庞加莱（1854－1912）
20世纪最伟大的数学家之一 20世纪最伟大的数学家之一 具备成功者的一切素质： 具备成功者的一切素质： 从小诚实、正直、公平待人； 从小诚实、正直、公平待人； 记忆迅速持久， 记忆迅速持久，富有想象力和直觉的 能力； 能力； • 思考问题时，注意力绝对集中。 思考问题时，注意力绝对集中。 • • • •
哥德尔（1906－1978） 哥德尔（1906－1978）
• 哥德尔命题： 哥德尔命题： 不可证” A：“A不可证” • 哥德尔命题与其否命题皆不可证。 哥德尔命题与其否命题皆不可证。 • 传统观念：数学问题都必须而且能够 传统观念： 严格加以证明或证伪 • “真”大于“证明” 大于“证明”
哥德尔（1906－1978） 哥德尔（1906－1978）
考试佯谬
• 两个结论：1 学生推理没有错误 两个结论： 教师的两个条件符合事实， 2 教师的两个条件符合事实，故应视为真命题 • 问题：似乎正确的前提和正确的推理导致了错 问题： 误的结论 • 回答：佯谬之所以出现，是因为试图将一个广 回答：佯谬之所以出现， 义哥德尔型命题（ 义哥德尔型命题（可粗略地理解为涉及系统元 知识的命题）显式地作为系统公理， 知识的命题）显式地作为系统公理，来建构系 统的完备性。 统的完备性。
庞加莱（1854－1912） 庞加莱（1854－1912）
• 最大的成就在微分方程定性理论方面。 最大的成就在微分方程定性理论方面。 • 现代常微分方程的开山鼻祖。 现代常微分方程的开山鼻祖。 • 随便拿出部分成果，就能拿菲尔兹奖 随便拿出部分成果， 与沃尔夫奖各10次的水平。 10次的水平 与沃尔夫奖各10次的水平。 • “人生就是持续的奋斗。” 人生就是持续的奋斗。
考试佯谬
绝大多数实际数学系统的形式化是不完备的 绝大多数实际数学系统的形式化是不完备的 数学系统的形式化是不完备 哥德尔第一不完备性定理）， ），甚至其一致性 （哥德尔第一不完备性定理），甚至其一致性 也无法在系统之内得到证明（ 也无法在系统之内得到证明（哥德尔第二不完 备性定理）。 ）。数学真理不可能由包括程序在内 备性定理）。数学真理不可能由包括程序在内 的任何机械过程所穷尽， 的任何机械过程所穷尽，而必然包含直觉和洞 察的成份。存在着对于人的直觉来说明显为真， 察的成份。存在着对于人的直觉来说明显为真， 但无法形式证明的良定义数学命题（哥德尔） 但无法形式证明的良定义数学命题（哥德尔）
庞加莱（1854－1912） 庞加莱（1854－1912）
• • • • 直觉主义的倡导者。 直觉主义的倡导者。 颇具哲学家气质的数学家。 颇具哲学家气质的数学家。 逻辑用于论证，直觉用于发明。 “逻辑用于论证，直觉用于发明。” 逻辑并非不毛之地， “逻辑并非不毛之地，它生长着矛 盾。”
康托尔（1845－1918） 康托尔（1845－1918）
欧拉（Euler,1707－1783） 欧拉（Euler,1707－1783）
• 出生于瑞士，13岁入大学。 出生于瑞士，13岁入大学 岁入大学。 • 他的老师是大数学家伯努利兄弟。伯 他的老师是大数学家伯努利兄弟。 努利家族出了十几位著名的数学家。 努利家族出了十几位著名的数学家。 初等微积分的大部分内容出自欧拉的 老师之手。 老师之手。 • 伯努利们与欧拉，对微积分的建立立 伯努利们与欧拉， 下了历史功勋。 下了历史功勋。