1. 区域剖分(区域离散）
用两族平行线
x t
xi tk
i h,
k,
0 i m 1/h
0 k n T /
将原方程的求解区域分割成矩形一致网格。
t
t k 1 tk
t k 1
t2 t1
O x1 x2
h — 空间步长， — 时间步长，
(xi ,tk )
( xi , tk ) — 网格节点
用 uik 表 示 温 度 分 布 函 数 u( x, t ) 在 点( xi , tk ) 处 的 网 格 函 数, 相 当 于
x xi1 xi xi1
u( x, t) 在 该 点 的 近 似.
2. 原方程弱化为节点处的离散方程
连续方程
u t
a
2u x 2
f (x,
t ),
0 x 1,
0 t T
u( x,0) ( x), 0 x 1
u(0, t) (t), u(1, t) (t), 0 t T
离散方程
)
u( xi1, tk
)
误差为 O(h2 )
( xi ,tk )
将上面的式子代入离散方程，可得
u(
xi
,
tk
1
)
u(
xi
,
tk
)
a
u(
xi 1
,
tk
)
2u( xi , h2
tk
)
u(
xi
1
,
tk
)
f ( xi , tk ) O(
h2 )
0 i m, 0 k n.
u( xi ,0) ( xi ),
uk i 1
)
f
( xi , tk ),
r
a
h2
向前欧拉差分格式是显格式，则对于任意网比 r ， 均唯一可解的。此外，相容性可由局部截断误差保证。
接下来考察差分格式的稳定性。一个数值格式的稳定 性指的是当初始条件有微小误差时，如果用某数值格 式计算出的数值解与原来的解误差不大，则称此格式 稳定。如果初始小误差引起后来解的较大误差，则此 格式不稳定。所以，数值格式的稳定性是考察一个算 法优劣的重要评价标准之一。这里，我们先只考察齐 次方程、零边界条件的情形。
0 i m,
u(0, tk ) (tk ), u(1, tk ) (tk ), 0 k n.
将数值解 uik 代替精确解 u( xi , tk ) 并忽略高阶小项， 则可以建立以下向前欧拉差分格式：
uik ui0
1
uik ( xi
),
a
uk i 1
0i
2uik h2
m,
收敛性
即逼近误差
误差传播
考察差分格式的好坏
1. 局部截断误差（相容性） 2. 扩张矩阵的特征值（稳定性）
Lax等价定理：相容性成立，则稳定性等价于收敛性。
ui0 ( xi ), u0k (tk ), umk (tk ), 0 i m, 0 k n.
uk1 i
uik
r
(uik1
2uik
用时间渐进显格式求解时间层上的温度分布
第四步， 输出
三、数值算例（向前欧拉方法）
u 2u t x2 0 , 0 x 1, 0 t 1
u( x,0) ex , 0 x 1 u (0, t ) et , u (1, t ) e1t , 0 t 1 原方程的真解为 u( x, t ) e xt .
f ( xi , tk ) 中的偏导数
( xi , tk )
( xi , tk )
关于时间的一阶偏导数用向前差商近似，
u
u( xi , tk1 ) u( xi , tk )
t ( xi ,tk )
误差为 O( )
关于空间的二阶偏导数用中心差商近似，
2u x 2
u( xi1 , tk
)
2u( xi , tk h2
0 k n.
ui0 ( xi ), u0k (tk ), umk (tk ), 0 i m, 0 k n.
uk1 i
uik
r
(
uk i 1
2uik
uk i 1
)
f
( xi , tk ),
t
时间渐进显格式
t k 1•
r
a
h2
•
tk •
•
• — 已知结点
t k 1•
•
• •
t2 •
uk i 1
f ( xi , tk ),
0 i m,
0 k n,
u0k
(tk ),
umk (tk ),
0 k n.
可见上述格式的局部截断误差为 O( h2 )
4.差分格式的求解
uk1 i
uik
a
uk i 1
2uik h2
uk i 1
f ( xi , tk ), 1 i m 1,
ui0 ( xi ), u0k (tk ), umk (tk ), 0 i m, 0 k n.
uk1 i
uik
r
(
uk i 1
2uik
uk i 1
)
f
( xi , tk ),
r
a
h2
课堂上完成。观察数值结果，分析其原因。
四、数值格式的理论分析
数值计算主要误差来源：
离散误差（相容性） + 稳定性
•
t1 •
•
O • x•1 x•2 • x•i1 x•i x•i1 •l
x
5.编程实现的基本环节
第一步，参数设置，如剖分数，节点坐标，a, 已知函
数 (x), f (x, t ), 时间、空间步长等。
第二步， 初始和边界条件确定
第三步，
循环：
uk1 i
uik
r
(uik1
2i , tk )
u
2u
t
a x2
f (xi , tk ),
( xi , tk )
( xi , tk )
u( xi ,0) ( xi ),
0 i m,
0 i m,
0 k n.
u(0, tk ) (tk ), u(1, tk ) (tk ), 0 k n.
3.处理方程 u
t
2u a x2
抛物型方程差分法
一、研究对象
1. 研究的对象—— 抛物型方程.
一维问题：
u 2u t a x2 f (x, t)
二维问题：
u
2u 2u
t a ( x2 y2 ) f (x, y, t)
物理意义：细杆、薄板的热传导现象
解决问题：方程 适当的初边值条件
考虑一维热传导方程：
u 2u t a x2 f ( x, t ), 0 x 1, 0 t T
u( x,0) ( x), 0 x 1
初始条件
u(0, t) (t), u(1, t) (t), 0 t T
边界条件
其中 a > 0 为常数。
物理意义：长度为 1，侧表面绝热的均匀细杆，初始 温度已知，细杆两端的温度已知，则杆内部的温度
分布函数 u( x,满t)足以上方程。
二、建立差分格式——向前欧拉方法