(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能 表成 f (z) zm (z),
其中(z) 在z=∞的邻域N内解析,且 ( 0);
(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m级零点(只要令 g(z)=0).
定理5.5’(对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点
∞为极点的充要条件是 lim f (z) . z 定理5.6’(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点
n
n
其中 bn cn (n 0,1,).
(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}: 0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 (z')在z’=0
的主要部分,我们称
bn z n
为f(z)在z=∞
n
的主要部分.
定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立 奇点z=∞为可去奇点的充要条件是下列三 条中的任何一条成立:
5.3解析函数在无穷远点的性质
定义5.4 设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域 N-{∞}:+∞>|z|≥0
内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.
设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z, 于是 (z') f ( 1 ) f (z) (5.12)
z'
在去心邻域:
K {0}: 0 | z'| 1 (如r 0规定1 )内解析
∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成 立:
(1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂
不等于零;
(2)
lim
z
f
( z ) 广义不存在(即当z趋向于∞
时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).
例5.11
f (z)
1
(z 1)( z 2)
g(z) (z 1)( z 2) z 2 1 1 1 2
z z
例5.12 将多值函数 Ln z a
zb
的在无穷远点的某区新邻域内展成洛朗级数
例5.14
求出函数
f (z) tan(z 1) z 1
的全部奇点,并判断其类型(含∞点) 例5.15 问函数 sec 1
z 1
在z＝1的区新邻域内能否展开为洛朗级数
例5.16 设f(z)在0<|z-a|<R内解析，且不恒为零； 又若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试 证a必为f(z)的本性奇点
m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.
设在去心邻域K-{0}:0<|z’|<1/r内将 ( z ' )
展成罗朗级数: (z') cn z'n n
令z/=1/z,根据(5.12),则有
(z') f ( 1 ) f (z)
z'
(z) cnzn f (z) bn z n (5.13)
r
r
z 0就为(z)之一孤立点.我们还看出:
(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心 邻域N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;
(2)在对应点z与z/上,函数 f (z) (z')
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点),
(1)f(z)在z 的 主要部分为零;
(2) lim f (z) b( ); z
(3)f(z)在z 的某去心邻域N-{∞}内有ห้องสมุดไป่ตู้.
定理5.4/ (对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点 z=∞为m级极点的充要条件是下列三条中的任 何一条成立:
(1) f(z)在 z=∞的主要部分为
b1z b2 z 2 bm z m (bm 0);