《三个正数的算术—几何平均不等式》教案
教学目标
1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式.
教学重、难点
重点：三个正数的算术-几何平均不等式
难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程
一、引入：
思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a ，b ，c ，可能有怎样的不等式成立？ 类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a ，b ，c ，可能有：若+∈R c b a ,,，那么33
abc c b a ≥++，当且仅当a =b =c 时，等号成立． 二、给出定理
.,,3,,,:333等号成立时当且仅当则若证明c b a abc c b a R c b a ==≥++∈+ 和的立方公式：3223333)(y xy y x x y x +++=+
立方和公式：))((2233y xy x y x y x +-+=+
定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33
abc c b a ≥++当且仅当a =b =c 时，等号成立． (三个正数的算术平均不小于它们的几何平均)
说明：(1)若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值．
(2)若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值． 定理推广：n 个正数的算术—几何平均不等式：
.
,,,,,,,321322321131等号成立时当且仅当则若n n n n a a a a a a a a n a a a a R a a a a n ====≥++++∈+
三、例题解析
例5 已知,,x y z R +∈，求证3
()27.x y z xyz ++≥
例6如图1.1-5(课本第9页)，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
四、小结：
回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，应用它们时的注意点.。