高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题
概念与用法
圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难 点.解决这个难点的基本思想是函数思想，
可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、
比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求 的定值•具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去 变量即得定值.
基本解题数学思想与方法
在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中， 不受相关变元的制约而恒定不变， 则称该变量具有定值特征.
解答此类问题的基本策略有以下两种：
1、 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量
的定值，再证明结论与特定状态 无关.
2、 把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关. 题型示例
一•证明某一代数式为定值：
1、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.
解：由已知条件，得 F(0, 1), Z>O •设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2).由 AF =入FB , 即得
(一x 1, 1 — y)
= ?(X 2, y 2 — 1),所以 —X1=入2
①
1 — y1 =心2— 1)②
若M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值;
解：设M (y 0 ,y o ),直线 ME 的斜率为 k(l>0)，直线 MF 的斜率为—k ,
直线 ME 方程为y
y o k(x y (). •••由
y o k (x
yo)
，消 x 得 ky 2
y o (i
ky o ) o
解得 y F
1 ky o
X F
2
(1 ky o
)
厂； 同理
1 ky
,X F
1 ky
2 y E y F
X E X F
1 k
(1 ky 。
) ky o 1 ky o
2
(1 ky °) 2
k 4ky o
2y
o
(定值)
k 2
所以直线EF 的斜率为定值 k 2
▲利用消元法
2、已知抛物线x 2= 4y 的焦点为
F , A 、B 是抛物线上的两动点, 且AF =入FB
B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为
M .证明FM -AB 为定值
1 1
将①式两边平方并把 y i = 4X 12, y 2= 1X 22代入得
y i = f y 2
③
i
解②、③式得 yi= \ y2=, 且有 X i X 2 =—入X=— 4入y= — 4,
抛物线方程为y = ^x 2,求导得y'= *x •所以过抛物线上 A 、B 两点的切线方程分别是
i
i
刚 i
i 2
i
i 2
y = 2X i (x — x i )+ y i , y = 2X 2(x — X 2) + y 2,即卩 y = ^x i x — 4X I , y = ^X 2x — 4x 2
•
相关知识与方法。
以上几种思维策率是高中数学中常用到的。
要注意体会。
二.证明动直线过定点或动点在定直线上问题
解出两条切线的交点 M 的坐标为（2
xi
+ x 2,警）=（厂，—i ）.
f f
xi + X2
所以 FM -AB = ( 2 —， — 2) (X 2 — x ,
y 2— y i )=
-]2)= 0
所以FM -AB 为定值，其值为0 •
▲利用不变因素
2 2
x
y 3、已知椭圆— 牙i a b 0的离心率为e 直线I
a
b
:y ex a 与x 轴、y 轴 分别交于 点A 、
B , M 是直线I 与该椭圆的一个公共点。
求证: 如为定值。
AB
解：设 AM AB,由题意得A
旦,0
,B 0,a 。
y 2
x ~~2 a
ex 2 y b 2 a
i ，得 c b 2
b 2 c,— a
AM AB,
b 2
e b 2
e
，而
a
c / AM 0,故 AB
解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，
求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的
a 2
b 2
,
i e 2
且 I
2
e 为定
▲利用辅助元
4、如图，椭圆 务 占 I 的两焦点F i , F 2与短轴两端点B i , B 2构成 B 2F i B i 为i20o ,面 a b
积为2J3的菱形。
（I ）求椭圆的方程； （2）若直线I : y kx m
与椭圆相交于 M 、N 两点（M 、N 不是左右顶点），且以MN 为直径的
2
2
圆过椭圆右顶点 A •求证：直线I 过定点，并求出该定点的坐标.
2 2
解：⑴易得椭圆的方程为—乞 1
4
3
y kx m
(2)由x 2 y 2
,消去y 得到 4
3
2
k 时，l ：y kx - k k x 2 ,此时，直线过定点 2,0
7
7
7
7
三.探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值
5、已知一动圆 M,恒过点F(1,0)，且总与直线l:x 1相切，(I)求动圆圆心 M 的轨迹C 的 方程；(H)探究在曲线C 上，是否存在异于原点的 A(x ,, y ,), B(x 2, y 2)两点,当y ,y 2 16时, 直线AB 恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由•
解：(1)因为动圆M,过点F (1,0)且与直线I : x 1相切，所以圆心M 到F 的距离等于到直 线I 的距离。
所以，点M 的轨迹是以F 为焦点，I 为准线的抛物线，且卫1, p 2
2
所以所求的轨迹方程为 y 2 4x
1 k
2 x 1x 2 x 1 x 2 km 2
2
m 4 0
1 ,
2 4m 2 k
3 12 8km , 2 2 km 4k 2 3 4k 2
2
2
m 7m 2
16km 2
4k 0, m 2k 7m 2k
m
2k, m
2
-k 均满足判别式大于 7
0，所以
当m
2k 时, I : y kx 2k k
x 2，此时 x 1 2, y 1 X 2 2,y 2
，而 y 1
4，化简整理得到
，直线过定点2,0
、 2
0, m
2k 或 m k
7
3 4k 2 x 2 8kmx 4m 2
12 0,直线I 与椭圆有两个交点,
2 2 2
8km 4 3 4k 4m 12
2 2 2 2
48k
12 m 36 12 4k m 3 0 设 M y 1 ,N X 2, y 2，则有为 x ?
8km 3 4k 2
x 1x 2
4m 2 12 3 4k 2
因为以MN 为直径的圆过椭圆右顶点
A ，所以AM AN 0,即
kx 1 m, y 2 kx ?
m 代入并整得
2 2
y 2)y y i y i y 2 4x y i 即：(y i 令y 0,得x 4，所以，无论y i , y 2为何值，直线AB 过定点(4,0) 练兵场
2 2
i 、点P 是椭圆 —
2
i(a b 0)上任一点，A 、B 是该椭圆上关于原点对称的两点，
a b
那么k p A k pB 是否为定值？
思考：把椭圆改成双曲线，结论是否仍然成立?
值，若是定值，求出该定值。
A 、
B 两点，(i )求椭圆的方程；(2)证明 AOB 为定值。
易错点
1, 设参时不够大胆，或者不够准确；
2, 化简时存在厌烦的心态或者利用条件关系不充分
(2)假设存在A,B 在y 2
4X 上 ,所以，直线AB 的方程：y y 1 上一(X X i )，
X 2 X i
y i
2
y
； yi 2 (x 里)即AB 的方程为:y y i
y 2 y i 4
(x 2
y i 4
)，
y 2)y (i6 4x) 0 ,
即(y i 2
2、过抛物线y
2px 的焦点作两条互相垂直的弦
AB 、CD ，判断
i
FABI
i 是否为定
|CD |
3、已知椭圆C 的中心在原点,
焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
y ^x 2的焦点,
4
离心率等于
2.5 5
(1) (2) 求椭圆C 的标准方程
过椭圆的右焦点作直线
I 交椭圆 umr uuur UJIT uur MA i AF,MB 2BF ，求证 i
C 于A 、B 两点，交
y 轴于M 点，若
2为定值。
2 2
4、已知椭圆x-2 -^2 i(a
a b
b 0)的两个焦点分别为
F i ( i,0), F 2(i,0)，点 P 在椭圆上,
且满足 | Ph | 2|PF 2|, PF i F 2
30°，直线y=kx+m 于圆x 2
-相切，与椭圆相交于
5。