2x
20 19 18 2 x 2 e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2! 220 e 2 x ( x 2 20 x 95)
19
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代
换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )( n ) a x ln n a (a 0)
k C n u( n k ) v ( k ) k 0
n
( uv ) uv uv
( uv ) ( uv uv) uv 2 uv uv
( uv ) uv 3uv 3uv uv
用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
( n) n
(e )
x kx ) k sin(kx n ) 2 ( n) n ( 3) (cos kx ) k cos(kx n ) 2 (4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(5) (ln x )
二、 高阶导数求法举例
1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求f ( 0), f ( 0). 1 2x 1 解 y y ( ) 2 1 x2 (1 x 2 ) 2 1 x
2( 3 x 1) 2x ( y ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3
例3 设 y ln( 1 x ), 求y (n ) . 解
y 1 1 x
3! (1 x ) 4
n 1
1 y (1 x ) 2
y
2! (1 x ) 3
y (4)

( n 1, 0! 1)
y
(n)
( 1)
( n 1)! (1 x ) n
机动
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结束
例6 设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20) . 解
y
(e )
( 20 )
(e x )
2x
2
2 ( 20 )
2 x ( 20 )
x 20(e )
20 2x 2
2 x ( 19 )
( x )
2
20( 20 1) 2 x (18 ) (e ) ( x 2 ) 0 2!
(n)
( x n )( n ) n!
( 1)
n 1
( n 1)! xn
1 (n) n n! ( ) ( 1) n 1 x x
例7
1 设 y 2 , 求y ( 5 ) . x 1
解
1 1 1 1 y 2 ( ) x 1 2 x 1 x 1
y
(5)
1 5! 5! 1 1 [ ] 60[ ] 6 6 6 6 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
练习题答案
一、1、 2e t cos t ； 2、2 sec 2 x tan x ；
2x x2 3、2 arctan x ； 4、2 xe ( 3 2 x 2 ) ； 1 x2 5、2 f ( x 2 ) 4 x 2 f ( x 2 ) ； 6、207360； 7、n ! ； 8、( n 1)! . 5 3 2 4 x 8 x 3 ； 二、1、 4 2 sin 2 x cos 2 x 2、 2 cos 2 x ln x ； 2 x x x 3、 3 . (1 x 2 ) 2
d2 y d dy 或 y ( y ) ( ) 2 dx d x dx
或
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,依次类推 ,
n 1阶导数的导数称为 n 阶导数 ,分别记作
或
d y d2 y , , 2 dx d x
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地 f ( x )称为零阶导数 , .
例4
设 y sin x , 求y
(n )
.
解 y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2
y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) (n) y sin( x n ) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2 2
n x

2
2x f (0) (1 x 2 )2
x 0
0;
2( 3 x 2 1) f (0) (1 x 2 ) 3
x0
2.
例2
设 y x ( R), 求y (n ) .
y x 1
y (x
1
解
( 1) x 2 )
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu)( n) Cu( n)
(3) (u v )
( n)

k 0
Cn u
n
k
( n k ) ( k )
v
莱布尼兹公式
莱布尼兹公式 ( u v )( n )
x2
5.设 y
f ( x2 )
,
f ( x )
存在，则 y =_________.
6.设 f ( x ) ( x 10) 6 , 则 f (2) =_________.
7.设 y x n a1 x n1 a2 x n 2 an1 x an ( a 1 , a 2 , , a n 都是常数)，则 y (n ) =___________. 8、设 f ( x ) x( x 1)( x 2)( x n) 则 f ( n1) ( x ) =____________. ,
第五节
高阶导数
• 一、高阶导数的定义
• 二、高阶导数求法举例 • 三、小结
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度 即
v s
即
加速度
a ( s )
定义. f ( x) 的导数 f ( x) 称为 f ( x) 的一阶导数 .
若函数 y f ( x ) 的导数 y f ( x ) 可导,则称 的导数为 f ( x ) 的二阶导数 , 记作
五、1、 ( 2 ) e cos( x n ) ； 4 2 n! n 2、 ( 1) ； n1 (1 x ) 8 1 n ], ( n 2) ； 3、 ( 1) n![ n1 n1 ( x 2) ( x 1) 1 n n ) 4、 [2 sin( 2 x 4 2 n n n n ) 6 sin( 6 x )] . + 4 sin( 4 x 2 2
y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3

y ( n) ( 1)( n 1) x n (n 1)
若 为自然数n, 则
y ( n ) ( x n )( n ) n! ,
y ( n 1) ( n! ) 0.
二、 求下列函数的二阶导数： 2x3 x 4 1、 y ； x 2、 y cos 2 x ln x ； 3、 y ln( x 1 x 2 ).
dx 1 三、试从 ，导出： dy y
d2x y 1、 2 dy ( y ) 3
d 3 x 3( y ) 2 yy 2、 3 dy ( y )5
三、小结
高阶导数的定义;
高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法;
1.直接法; 2.间接法.
练 习 题
一、 填空题：
sin t 1、设 y t 则 y =_________. e
2、设 y tan x ,则 y =_________. 3、设 y (1 x 2 ) arctan x ，则 y =________. 4、设 y xe ,则 y =_________.