解：（1）∵抛物线 y ax2 bx 2(a 0) 经过点 A（-2，-4）和点 C（2，0），
则
4 4a 2b 2
0
4a
2b
2
，解得：
a 1
b
1
，
∴抛物线的解析式为 y x2 x 2 ；
（2）存在，理由是：
在 x 轴正半轴上取点 E，使 OB=OE，过点 E 作 EF⊥BD，垂足为 F，
2
2
即 2×2= 5 ×EF，解得：EF= 4 5 ， 5
∴DF= DE 2 EF 2 = 3 5 ， 5
∴tan∠BDE= EF = 4 5 3 5 = 4 ， DF 5 5 3
若∠PBC=2∠BDO， 则∠PBC=∠BDE，
∵BD=DE= 5 ，BE=2，
则 BD2+DE2＞BE2， ∴∠BDE 为锐角， 当点 P 在第三象限时， ∠PBC 为钝角，不符合； 当点 P 在 x 轴上方时，
∵∠PBC=∠BDE，设点 P 坐标为（c， c2 c 2 ），
过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 G，
则 BG=c+1，PG= c2 c 2 ， ∴tan∠PBC= PG = c2 c 2 = 4 ，
BG c 1 3 解得：c= 2 ，
3
∴ c2 c 2 = 20 ， 9
∴点 P 的坐标为（ 2 ， 20 ）； 39
在 y x2 x 2 中，
令 y=0，解得：x=2 或-1，
∴点 B 坐标为（-1，0），
∴点 E 坐标为（1，0），
可知：点 B 和点 E 关于 y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO，即∠BDE=2∠BDO，
∵D（0，2），
∴DE= 22 12 5 =BD，
在△BDE 中，有 1 ×BE×OD= 1 ×BD×EF，
求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图 2，连接 AC ，交 y 轴于点 E，点 M 是线段 AD 上的动点（不与点 A，点 D 重
合），将△CME 沿 ME 所在直线翻折，得到 FME ，当 FME 与△AME 重叠部分的
面积是
AMC
面积的
1 4
时，请直接写出线段
AM
的长．
【答案】（1） y x2 x 2 ；（2）存在，（ 2 ， 20 ）或（ 10 ， 52 ）；（3）
则
4
0
2m1 n1 2m1 n1
，解得：
nm1 112
，
∴直线 AC 表达式为 y=x-2，
令 x=0，则 y=-2，
∴点 E 坐标为（0，-2），
可得：点 E 是线段 AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等， 由于折叠，
∴△CME≌△FME，即 S△CME=S△FME， 由题意可得：
∴ s 22 3s 22 2 2 ，
解得：s= 4 或 0（舍）， 5
∴M（ 4 ， 2 ）， 55
∴AM=
4 5
2
2
2 5
4
2
=
6
10 5
，
当点 F 在直线 AC 下方时，如图， 同理可得：四边形 AFEM 为平行四边形， ∴AM=EF， 由于折叠可得：CE=EF，
∴AM=EF=CE= 2 2 ，
九年级上册数学 二次函数专题练习（解析版）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx 2(a 0) 经过点 A(2, 4) 和点 C(2, 0) ，
与 y 轴交于点 D，与 x 轴的另一交点为点 B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，连接 BD ，在抛物线上是否存在点 P，使得 PBC 2BDO ？若存在，请
综上：AM 的长度为 6 10 或 2 2 ． 5
【点睛】 本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四 边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求 较高．
2．对于函数 y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数 x0，使得 a x02 +（b+1）x0+b﹣2
当点 F 在直线 AC 上方时，
∴S△MNE= 1 S△AMC= 1 S△AME= 1 S△FME，
4
2
2
即 S△MNE= S△ANE= S△MNF，
∴MN=AN，FN=NE，
∴四边形 FMEA 为平行四边形，
∴CM=FM=AE= 1 AC= 1 22
42 42 = 2
2，
∵M（s，3s+2），
＝x0 成立，则称 x0 为函数 y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点． （1）当 a＝2，b＝﹣2 时，求 y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点； （2）若对于任何实数 b，函数 y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点，求实 数 a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若 y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的图象上 A，B 两点的横坐标
39
39
6 10 或 2 2 5
【解析】 【分析】 （1）根据点 A 和点 C 的坐标，利用待定系数法求解； （2）在 x 轴正半轴上取点 E，使 OB=OE，过点 E 作 EF⊥BD，垂足为 F，构造出 ∠PBC=∠BDE，分点 P 在第三象限时，点 P 在 x 轴上方时，点 P 在第四象限时，共三种情 况分别求解； （3）设 EF 与 AD 交于点 N，分点 F 在直线 AC 上方和点 F 在直线 AC 下方时两种情况，利 用题中所给面积关系和中线的性质可得 MN=AN，FN=NE，从而证明四边形 FMEA 为平行四 边形，继而求解． 【详解】
当点 P 在第四象限时，
同理可得：PG= c2 c 2 ，BG=c+1，
tan∠PBC= PG = c2 c 2 = 4 ， BG c 1 3
解得：c= 10 ， 3
∴ c2 c 2 = 52 ， 9
∴点 P 的坐标为（ 10 ， 52 ）， 39
综上：点 P 的坐标为（ 2 ， 20 ）或（ 10 ， 52 ）；
39
39
（3）设 EF 与 AD 交于点 N，
∵A（-2，-4），D（0，2），设直线 AD 表达式为 y=mx+n，
则
4
2m 2n
n
，解得：
m
n
3 2
，
∴直线 AD 表达式为 y=3x+2，
设点 M 的坐标为（s，3s+2）， ∵A（-2，-4），C（2，0），设直线 AC 表达式为 y=m1x+n1，