2
1
)
2
(1
1 x)2
2 ( x 1)2
在进行求导运算中,
尽量先化简再求导,
过程简单,
准 确.
函数的求导法则
二、反函数的求导法则
定理2
如果函数 x
f
(
y )在某区间
I
内单调、
y
可导 且f ( y) 0 , 那末它的反函数 y f 1 ( x)在
对应区间
I
内也可导
x
,
且
[ f 1 ( x)] 1
(csc x) csc x cot x
函数的求导法则
求 y x 1 的导数 . x1
1 v( x)
v( x) v 2 ( x)
解 法一
y
(x
1)( x
1) ( x 1)( x ( x 1)2
1)
(x
2 1)2
法二 y x 1 1 2
x1
x1
注
y
(1)
(
x
解
y
(tan
x )
sin cos
x x
u
v
uv uv v2
(sin
x
)
cos x cos2
sin x
x(cos
x )
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos 2
x
sec 2
x
即 (tan x) sec2 x. (cot x) csc2 x.
同理可得
(sec x) sec x tan x
(1
1
( x x ))
2 x x x
2 x x
1
(1
1
(1 1 ))
2 x x x
2 x x
2x
4 x2 x x 2 x 1 . 8 x x x x2 x x
1 3( x 2)
求函数
sin 1
ye x
的导数.
y
sin 1
ex
(sin
1 )
sin 1
ex
cos
1
( 1 )
x
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
函数的求导法则
x 0 的情形证明幂函数的导数公式
( x ) x 1
因为 x e ln x , 所以
( x ) (e ln x ) e ln x ( ln x)
(e x 1)2 sin2 x
函数的求导法则
求y f sin 3x的导数, 其中函数 f 可导.
解 设 y f (u), u sin 3 x 则 y yu ux f (u) 3 cos 3 x 3 f (sin 3 x) cos 3 x
注
上式中 f (sin 3x) 是函数 f 对括号中的中间
f (x)
sin 2
f (0)
lim
x
x 0
x0
x0
x0
x
lim
x0
sin 2 x2
x
1
所以
f
( x)
sin 2 x x
sin 2 x2
x
1
x0 x0
函数的求导法则
求函数
y
arctan
sin x ex 1
的导数.
解
y
1
1
sin x 2
ex
1
sin x '
ex
1
cos x(e x 1) e x sin x
I
内也可导
x
,
且
[ f 1 ( x)] 1 或 f ( y)
dy dx
1 dx
.
dy
函数的求导法则
4. 复合函数的求导法则 设y f (u), 而u g( x)且f (u)及g( x)都可导,
则复合函数 y f [ g( x)]的导数为
dy dy du 或 dx du dx
初等函数求导问题
du
dv .
dx du dv dx
例6 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dx
dy du
du dx
1 u
cos x
cos x cot x sin x
函数的求导法则
例7 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
解 y 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
并且
(1) [ u( x) v( x)] u( x) v( x); , R.
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
u(x)
v(
x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v 2 ( x)
(v( x) 0).
函数的求导法则
((aarrccssiinn xx))
1 (sin y)
1 cos
y
1
1 sin 2 y
1 .
1 x2
同理可得
(arccos x) 1 . 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
;
(arc cot
x)
1 1 x2
.
函数的求导法则
注 如果利用三角学中的公式:
arccos x arcsin x, 也可得公式
函数的求导法则
若 (x)在x a处连续, f (x) (x a) (x),
求f (a).
解 f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a) ( x) 0
xa
xa
xa
xa
lim ( x) (a) xa
函数的求导法则
五、小结
函数的积、商求导法则
注意
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
u( x) v( x)
u( x) . v( x)
反函数的求导法则
(注意成立条件);
复合函数的求导法则
(对于复合函数,
层的复合结构, 不能遗漏);
记住基本初等函数的导数公式
注意一层
函数的求导法则
思考题 求函数 y x x x 的导数.
解 y
1
( x x x )
2 x x x
1
推论 若u、v、w在点x处均可导, 则u v w, uvw 在同一点x处也可导,且
u v w u v w
uvw uvw uvw uvw
函数的求导法则
例1 求 y x3 2 x2 sin x 的导数 . 解 y 3 x 2 4 x cos x.
例2 求 y sin 2 x ln x 的导数 .
解 y 2 sin x cos x ln x y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x 2 cos 2 x ln x 1 sin 2 x. x
函数的求导法则
例3 求 y tan x 的导数 .
(csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(loga
x )
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctanx )1Fra bibliotek1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x )
1
1 x
2
函数的求导法则
2. 函数的线性组合、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x) 都可导, 则
(1) (u v) u v, , R.
(2) (u v) uv uv.
(3)
u v
uv uv v2
(v
0).
3. 反函数的求导法则
如果函数 x f ( y)在某区间 I y内单调、可导 且f ( y) 0 , 则它的反函数 y f 1( x)在对应区间
a2 x2
x2
2 a2 x2
a2
2 a2 x2
1
1
x
2
x a
a
函数的求导法则
例9 解
例10 解
求函数
y ln
3
x 2 1 ( x 2) 的导数. x2
y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 1 2x
1 3( x 2)
x
x 2
1
2 (arccos x) 1 ,
1 x2
arccot x arctan x, 也可得公式
2
(
arccot
x )
1
1 x2
.
函数的求导法则
例5 解
求函数 y log a x 的导数.
x a y在I y (,)内单调、可导 ,
且 (a y ) a y ln a 0, 在I x (0,)内有
dy f (u) g( x) 或 dy dy du .
dx
dx du dx
因变量对自变量求导, 等于因变量对中间 变量求导, 乘以中间变量对自变量求导.
函数的求导法则
推广 设 y f (u), u (v), v ( x),
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy
dy
变量求导, 不表示 f 对x的导数.
f (sin 3x) ? [ f (sin 3x)]
函数的求导法则
设 f 是可导函数 ,求y f (e x )e f ( x )的导数.
分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数.
解 y [ f (e x )e f ( x ) ] [ f (e x )] e f ( x ) f (e x ) [e f ( x ) ] f (e x ) e x e f ( x ) f (e x ) e f ( x ) f ( x) e f ( x )[ f (e x ) e x f (e x ) f ( x)]