一元二次方程提高练习一．选择题（共8小题）1．（2014•昆明）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100B．100（1﹣x）2=144C．144（1+x）2=100D．100（1+x）2=1442．（2014•天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D．x（x﹣1）=283．（2014•白银）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=64．（2014•海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81B．100（1﹣x）2=81C．100（1﹣x%）2=81D．100x2=815．（2014•岑溪市一模）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜1C．k＜1且k≠0D．k≥16．（2014•琼海二模）一元二次方程x2+3x=0的解是（）A．x=﹣3B．x1=0，x2=3C．x1=0，x2=﹣3D．x=37．（2014•中山模拟）关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定的8．（2014•闸北区二模）下列方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0B．x4=0C．=D．=0二．填空题（共8小题）9．（2014•天水）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_________ ．10．（2014•昆山市模拟）如果2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，那么常数b的值为_________ ．11．（2014•启东市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的值可以是_________ ．（写出一个即可）12．（2014•无锡新区一模）一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是_________ ．14．（2014•虹口区三模）方程=3的解是_________ ．15．（2013•龙岩）已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k= _________ ．16．（2013•兰州）若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_________ ．三．解答题（共14小题）17．（2014•秦淮区一模）解方程：2x2﹣4x+1=0．18．（2014•平谷区一模）关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣3x+2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．19．（2014•通州区一模）已知：关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为﹣2时，求方程的另一个根．20．（2014•邳州市二模）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．21．（2014•淮北模拟）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出_________ 只粽子，利润为_________ 元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多22．（2013•北碚区模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．23．（2011•厦门）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．24．（2011•郴州）当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根25．（2012•东城区二模）列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x值．26．（2006•奉贤区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为射线BC上的一点，且PB=PD，过D点作AC边上的高DE．（1）求证：PE=BO；（2）设AC=8，AP=x，S△PBD为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的P点，使得△PBD的面积是△ABC面积的如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由．27．（2008•鼓楼区一模）已知y1=x2﹣x+2，y2=x﹣2，是否存在实数x，使得y1=y2，若存在，求出x，若不存在，请说明理由．29．（2008•丰台区二模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m﹣1=0．求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．30．（2012•潘集区模拟）如图：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2014•昆明）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100B．100（1﹣x）2=144C．144（1+x）2=100D．100（1+x）2=144考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解答：解：2012年的产量为100（1+x），2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=144，故选D．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．2．（2014•天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D．x（x﹣1）=28考点：由实际问题抽象出一元二次方程．分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．解答：解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．故选B．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．3．（2014•白银）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．解答：解：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，由题意得：x（5﹣x）=6，故选：B．点评：本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．4．（2014•海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81B．100（1﹣x）2=81C．100（1﹣x%）2=81D．100x2=81专题：增长率问题．分析：若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可．解答：解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：x满足方程为100（1﹣x）2=81．故选B．点评：本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．5．（2014•岑溪市一模）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜1C．k＜1且k≠0D．k≥1考点：根的判别式．专题：压轴题．分析：方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．解答：解：由题意知，△=4﹣4k＞0，解得：k＜1．故选B．点评：本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．（2014•琼海二模）一元二次方程x2+3x=0的解是（）A．x=﹣3B．x=0，x2=3C．x1=0，x2=﹣3D．x=31考点：解一元二次方程-因式分解法；因式分解-十字相乘法等；解一元一次方程．专题：计算题．分析：分解因式得到x（x+3）=0，转化成方程x=0，x+3=0，求出方程的解即可．解答：解：x2+3x=0，x（x+3）=0，x=0，x+3=0，x1=0，x2=﹣3，故选：C．点评：本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．7．（2014•中山模拟）关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定的考点：根的判别式．专题：推理填空题．分析：求出b2﹣4ac的值，根据结果判断它的正、负，根据根的判别式即可得到答案．解答：解：﹣x2+4mx+4=0，b2﹣4ac=（4m）2﹣4×（﹣1）×4，=16m2+16，不论m为何值，16m2+16＞0，故选C．点评：本题主要考查对根的判别式的理解和掌握，能熟练地根据根的判别式进行推理是解此题的关键．8．（2014•闸北区二模）下列方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0B．x4=0C．=D．=0考点：根的判别式；高次方程；无理方程；分式方程的解．分析：本题是根的判别式的应用试题，不解方程而又准确的判断出方程解的情况，那只有根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．解答：解：A、x2﹣x+1=0，△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，所以没有是实数根，故选项错误；B、x4=0的实数根是x=0，故选项正确；C、去掉分母后x=1有实数根，但是使分式方程无意义，所以舍去，故选项错误；D、=0，两边平方得x2+1=0的△=b2﹣4ac=0﹣4＜0，也没有实数根，故选项错误．故选：B．点评：本题是对方程实数根的考查，求解时一要注意是否有实数根，二要注意有实数根时是否有意义．二．填空题（共8小题）（2014•天水）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20% ．9．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．解答：解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，125（1﹣x）2=80，解得x1==20%，x2=（不合题意，舍去）；故答案为：20%点评：本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格．10．（2014•昆山市模拟）如果2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，那么常数b的值为﹣3 ．考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．专题：因式分解．分析：把方程的解x=2代入方程得到关于b的等式，可以求出字母系数b的值．解答：解：把2代入方程有：4+2b+2=02b=﹣6b=﹣3．故答案是：﹣3．11．（2014•启东市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的值可以是 1 ．（写出一个即可）考点：根的判别式．专题：开放型．分析：由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于k的不等式，解不等式就可以求出k的取值范围．解答：解：∵△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，解上式得k≤1．故答为1．点评：当一元二次方程的判别式△≥0时，方程有实数根，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．12．（2014•无锡新区一模）一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2 ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系，即可求得答案．解答：解：设一元二次方程x2+x﹣2=0的两根分别为α，β，∴αβ=﹣2．∴一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题考查了根与系数的关系．解题的关键是熟记公式．13．（2014•昆明模拟）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x．根据题意，可列出方程为：100（1+x）2=121 ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．解答：解：设平均每次提价的百分率为x，根据题意得：100（1+x）2=121，故答案为：100（1+x）2=121．点评：本题考查是增长率问题，若原数是a，每次变化的百分率为a，则第一次变化后为a（1±x）；第二次变化后为a（1±x）2，即原数×（1±变化的百分率）2=后来数．14．（2014•虹口区三模）方程=3的解是x=13 ．考点：无理方程．分析：因为x﹣4的算术平方根为3，所以得x﹣4=9，再解即可．解答：解：=3，x﹣4=9，x=13．故答案为：x=13．点评：本题考查了解无理方程．算术平方根的被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．考点：一元二次方程的解．分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解答：解：把x=3代入方程x2﹣6x+k=0，可得9﹣18+k=0，解得k=9．故答案为：9．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，比较简单．16．（2013•兰州）若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0 ．考点：根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．专题：计算题．分析：首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．解答：解：∵，∴b﹣1=0，=0，解得，b=1，a=4；又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，即16﹣4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；故答案为：k≤4且k≠0．点评：本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．三．解答题（共14小题）17．（2014•秦淮区一模）解方程：2x2﹣4x+1=0．考点：解一元二次方程-配方法．分析：先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：由原方程，得x2﹣2x=﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1=，配方，得（x﹣1）2=，直接开平方，得x﹣1=±，（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．18．（2014•平谷区一模）关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣3x+2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则k﹣3≠0，△＞0，公共部分就是k的取值范围．（2）通过（1）中k的取值范围确定出k的值，依次代入求出一元二次方程的解，满足两根都是整数就可以．解答：解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴解得，．（2）k的正整数值为1、2、4如果k=1，原方程为﹣2x2﹣3x+2=0．解得x1=﹣2，，不符合题意舍去．如果k=2，原方程为﹣x2﹣3x+2=0，解得，不符合题意，舍去．如果k=4，原方程为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，符合题意．∴k=4．点评：这道题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．19．（2014•通州区一模）已知：关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为﹣2时，求方程的另一个根．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）要想证明对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根，只要证明△＞0即可；（2）把方程的一根代入原方程求出a的值，然后把a的值代入原方程求出方程的另一个根．解答：（1）证明：△=a2﹣4×1×（a﹣2）=a2﹣4a+8=（a﹣2）2+4∵（a﹣2）2≥0∴（a﹣2）2+4＞0∴△＞0∴无论a取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵此方程的一个根为﹣2∴4﹣2a+a﹣2=0∴a=2∴一元二次方程为：x2+2x=0∴方程的根为：x1=﹣2，x2=0∴方程的另一个根为0．点评：本题重点考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程的方法．20．（2014•邳州市二模）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．解答：解：设BC边的长为x米，则AB=CD=米，根据题意得：×x=120，解得：x1=12，x2=20，∵20＞16，∴x2=20不合题意，舍去，答：矩形草坪BC边的长为12米．点评：本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．21．（2014•淮北模拟）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为（1﹣m）（300+100×）元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题；压轴题．分析：（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．解答：解：（1）300+100×，（1﹣m）（300+100×）．（2）令（1﹣m）（300+100×）=420．化简得，100m2﹣70m+12=0．即，m2﹣+=0．解得m=或．可得，当m=时卖出的粽子更多．答：当m定为时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．22．（2013•北碚区模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．考点：分式的化简求值；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先化简代数式：将括号内的分式的分子分母分解因式、约分化简，然后计算加减法；再将除法转化为乘法的形式；再根据已知条件“a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根”求得a2﹣3a=1；最后，将a2﹣3a=1整体代入化简后的代数式求值即可．解答：解：原式===﹣∵a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．∴a2﹣3a﹣1=0，∴a2﹣3a=1；∴原式=﹣=﹣2．点评：本题综合考查了一元二次方程的解、分式的化简求值．解答此题时，采用了“整体代入”是解题方法，避免了求a的值的繁琐过程，而是直接将a2﹣3a=1整体代入化简后的代数式．23．（2011•厦门）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：（1）关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；（2）利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值．解答：解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣2n，∴△=b2﹣4ac=4+8n＞0，解得n＞﹣；（2）由原方程，得（x﹣1）2=2n+1，解得x=1±；∵方程的两个实数根都是整数，且﹣＜n＜5，不是负数，∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式，∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，解得n=0，n=或n=4．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24．（2011•郴州）当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根考点：根的判别式．专题：方程思想．分析：根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac=0列出关于t的一元二次方程，然后解方程即可．解答：解：∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2，一次项系数b=t，常数项c=2，∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0，解得，t=±4，∴当t=4或t=﹣4时，原方程有两个相等的实数根．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；△=b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．25．（2012•东城区二模）列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x值．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：根据题意知，花园面积与剩余空地面积都是24m2，所以可根据这两部分的面积表达式分别列方程求解．解答：解：据题意，得．解得x1=12，x2=2．x1不合题意，舍去．∴x=2．点评：此题考查一元二次方程的应用，搞清楚每个方案中花园面积或空白面积的表达式是关键．26．（2006•奉贤区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为射线BC上的一点，且PB=PD，过D点作AC边上的高DE．（1）求证：PE=BO；（2）设AC=8，AP=x，S△PBD为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的P点，使得△PBD的面积是△ABC面积的如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由．考点：等腰直角三角形；一元二次方程的应用；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE=BO；解题时注意分P在AO上和P在OC上两种情况讨论；（2）由△POB≌△DEP得BO=PE=4，当点P在AO上时，PO=DE=EC=4﹣x，此时，S△PBD=S PBDE﹣S△PDE，当P在OC 上时，PO=DE=EC=x﹣4，此时S△PBD=S△PBC+S△PDC=S△PBC+S△PDE﹣S△CDE=S△PBC+S△POB﹣S△CDE（3）根据S△ABC=16，知道要使得△PBD的面积是△ABC面积的，只要，解方程得x1=2，x2=6从而得到当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的．解答：解：（1）P在AO上（如图1）：∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点∴BO⊥AC∵DE⊥AC∴∠POB=∠DEP=90°（1分）∵PB=PD∴∠PBD=∠PDB，∵∠OBC=∠C=45°，∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，∵∠PBD=∠PDB，∴∠PB0=∠DPE（2分）∴△POB≌△DEP（AAS）∴PE=BO（1分）P在OC上（如图2）：∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点∴BO⊥AC∵DE⊥AC∴∠POB=∠DEP=90°∵PB=PD∴∠PBD=∠PDB∵∠C=∠DCE=∠CDE=45°∴∠PB0=∠DPE（1分）∴△POB≌△DEP（AAS）∴PE=BO（1分）（2）P在AO上（如图1）：由△POB≌△DEP得BO=PE=4，∴PO=DE=EC=4﹣x，（1分）∴S△PBD=S PBDE﹣S△PDE=S△PBO+S OBDE﹣S△PDE=S OBDE=S△OBC﹣S△DEC∴S△PBD=（2分）P在OC上（如图2）：由△POB≌△DEP得BO=PE=4，∴PO=DE=EC=x﹣4，（1分）∴S△PBD=S△PBC+S△PDC=S△PBC+S△PDE﹣S△CDE=S△PBC+S△POB﹣S△CDE=（2分）∴即y=（8x﹣x2），（0＜x＜8）；（3）S△ABC=16，要使得△PBD的面积是△ABC面积的，只要，解方程得x1=2，x2=6，（2分）即当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的注：（2）中的S△PBD的求解可以直接用面积计算，而且不需分类讨论，可酌情给分）点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用及全等三角形的判定及性质，是一道难度较大、综合性较强的综合题，解题时一定要仔细审题．27．（2008•鼓楼区一模）已知y1=x2﹣x+2，y2=x﹣2，是否存在实数x，使得y1=y2，若存在，求出x，若不存在，请说明理由．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：令两个函数相等即可得到有关x的一元二次方程，求得其根的判别式后做出判断即可．解答：解：不存在，理由如下：由题意得：x2﹣x+2=x﹣2整理得：x2﹣2x+4=0∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×4=﹣12＜0∴方程无实数根，即不存在实数x，使得y1=y2．点评：本题考查了根的判别式，根据根的判别式可以得到不等式或者方程，求解即可．28．（2008•昆山市模拟）解方程：（2x+3）（ x+1）=（x+1）（ x+3）考点：解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程．专题：计算题．分析：移项后分解因式得到（x+1）[（2x+3）﹣（x+3）]=0，推出方程x+1=0，x=0，求出方程的解即可．解答：解：（2x+3）（ x+1）=（x+1）（ x+3），移项得：（2x+3）（ x+1）﹣（x+1）（ x+3）=0，提公因式得：（x+1）[（2x+3）﹣（x+3）]=0，∴（x+1）x=0，即x+1=0，x=0，解方程得：x1=﹣1，x2=0，∴原方程的解是x1=﹣1，x2=0．点评：本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．29．（2008•丰台区二模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m﹣1=0．求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．考点：根的判别式．专题：证明题．分析：根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号来证明结论成立．解答：证明：∵△=b2﹣4ac=[﹣（m+1）]2﹣4（m﹣1）=m2﹣2m+5=（m﹣1）2+4＞0∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．30．（2012•潘集区模拟）如图：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2考点：一元二次方程的应用．专题：几何动点问题．分析：设经过x秒钟，△PBQ的面积等于8平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．解答：解：设经过x秒以后△PBQ面积为8整理得：x2﹣6x+8=0解得：x=2或x=4答：2或4秒后△PBQ的面积等于8cm2点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于8cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．。