黄金30题系列高二年级数学江苏版大题好拿分【基础版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E、F 分别是CD、A 1D 1中点．(1)求证：AB 1、BF ；（2）若正方体的棱长为1，求E ABF V -2．设复数z a bi =+（,a b ∈R ，0a >，i 是虚数单位），且复数z 满足10z =，复数()12i z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.⑴求复数z ；(2)若1m i z i-++为纯虚数(其中m R ∈）,求实数m 的值. 3．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点31,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在椭圆上，∠F 2PF 1＝60°，求△PF 1F 2的面积．4．某校举行“青少年禁毒”知识竞赛网上答题，高二年级共有500名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．请你解答下列问题：（1）根据下面的频率分布表和频率分布直方图，求出a d +和b c +的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人？5．如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ，在施工过程中发现O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路l ，m ，欲再新建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上（点P ，Q 分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切.（1）当点P 距O 处2百米时，求OQ 的长；（2）当公路PQ 的长最短时，求OQ 的长.6．已知两圆221:20c x y x +-=， ()222:14Qc x y ++=的圆心分别为c 1，c 2，，P 为一个动点，且12PC PC +=.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）是否存在过点A （2，0）的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C ，D ，使得C 1C ＝C 1D?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位）（1）求复数2z ；（2）若复数()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．8．已知:12p x +≤， ()():10q x x m +-≤.（1）若4m =，命题“p 或q ”为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.9．已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且面积有最小值，求此圆的方程．10．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =， 13AA =， 2BC CF ==．（1）求证： 1//C E 平面ADF ；（2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？11．如图，1l 表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；2l 表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系．（1）写出销售收入与销售量之间的函数关系式；（2）写出销售成本与销售量之间的函数关系式；（3）当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；（4）当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润=收入-成本）12．设命题p ：函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对任意x ∈R 恒成立．、Ⅰ）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；、Ⅱ）如果命题“p 或q”为真命题且“p 且q”为假命题，求实数a 的取值范围．13．已知函数()ln 1(0)f x x ax x =-+>（1）若对任意的[)()1,,0x f x ∈+∞≤ 恒成立，求实数a 的最小值.（2）若52a = 且关于x 的方程()212f x x b =-+ 在[]1,4 上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）设各项为正的数列{}n a 满足： *111,ln 2,n n n a a a a n N +==++∈ 求证：21n n a ≤-14．已知函数()3213f x x x ax b =-++的图像在点()()0,0P f 处的切线方程为32y x =-.(Ⅰ)求实数,a b 的值；(Ⅱ)设()()1m g x f x x =+-是[2,+∞)上的增函数, 求实数m 的最大值. 15．已知复数22(4sin )2(cos 1)z a i θθ=-++，其中a +∈R，(0,)θπ∈，i 为虚数单位，且z 是方程2220x x ++=的一个根．（1）求θ与a 的值；（2）若w x yi =+（,x y 为实数），求满足1z w z i -≤+的点(,)x y 表示的图形的面积． 16．已知函数()2ln (0,1).x f x a x x a a a =+->≠(1)求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求函数()f x 单调增区间；(3)若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121(f x f x e e -≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.17．如图，某几何体的下部分是长为8，宽为6，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．19．已知直线l ：(2)(31)1a y a x -=--（1）求证：不论实数a 取何值，直线l 总经过一定点.（2）为使直线不经过第二象限，求实数a 的取值范围.（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （－2，1），直线:230l x y --= ．（1）若直线过点A ，且与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且在轴、轴上的截距之和为3，求直线的方程．参考答案1．（1）见解析；（2）16． 【解析】试题分析：（1）由条件可证得AB 1⊥平面A 1BCD 1，从而可得结论；（2）根据E ABF F ABE V V --=求解即可。

试题解析：(1)证明：连结A 1B ，CD 1，∵AB 1，A 1B 是正方形ABB 1 A 1的对角线，∴AB 1⊥A 1B ，又AB 1⊥BC，A 1B∩BC＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BCD 1，∵BF ⊂平面A 1BCD 1，∴AB 1⊥BF.（2）∵点F 到底面的距离即为棱长1， ∴111111326E ABF F ABE V V --==⨯⨯⨯⨯=。

即16E ABF V -=。

2．（1）3z i =-；（2）5m =-.【解析】试题分析：（1、设(,,0)z a bi a b R a =+∈>，由z =2210a b +=，又复数()()()()()121222i z i a bi a b a b i +=++=-++在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则22a b a b -=+即3a b =-.联立求解即可（2）由3z i =+,可得()()()()()()11513331111222m i i m i i m i m i m m z i i i i i i i i ------+-+=++=++=++=++++-,1m i z i -++为纯虚数，∴502{102m m +=-≠，然后解方程即可 试题解析：⑴设(,,0)z a bi a b R a =+∈>，由z =2210a b +=.①又复数()()()()()121222i z i a bi a b a b i +=++=-++在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则22a b a b -=+即3a b =-.②.由①②联立方程组2210{3a b a b+==-,解得3a =,1b =-或3a =-，1b =， 0a >，∴3a =-，1b =.∴3z i =-. ⑵由3z i =+,可得()()()()()()11513331111222m i i m i i m i m i m m z i i i i i i i i ------+-+=++=++=++=++++-, 1m i z i -++为纯虚数，∴502{102m m +=-≠， 解得5m =-.3．（1）2214x y +=；（2 【分析】（1）由题意求得a ，设出椭圆方程，代入已知的坐标求得b ，则椭圆方程可求； （2）由（1）求得c 及2a ，在△F 2PF 1中，由余弦定理可得1243PF PF =，然后代入三角形面积公式可得△F 2PF 1的面积．【详解】（1） 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4，故可设椭圆C 的方程为22214x y b+=（0a b >>），因为点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以213144b +=， 解得21b =， 所以，椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）由（1）知，124c PF PF ==+= 在、F 2PF 1中，由余弦定理可得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2212443c a PF PF =-1243PF PF ∴=，则12114sin 60223S PF PF ︒==⨯= 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．4．（1）39,0.33a d b c +=+=（2）150【解析】试题分析：（1）由频率=频数/样本容量可求得,,,a b c d 的值，从而得到a d +和b c +的值；（2）由成绩在[90,100]之间的频率为0.3可求得参赛学生中获奖的学生人数试题解析：（1）39,0.33a d b c +=+=（2）由（1）知学生成绩在[90,100]之间的频率为0.3，故可估计所有参赛学生中能获奖的人数约为5000.3150⨯=人．考点：频率分布表及频率分布直方图5．（1）83（2【解析】试题分析：（1）根据题意，建立直角坐标系，然后利用直线与圆的相切列出关于关于q 的方程解之即可；（2）利用截距式方程给出直线的方程，然后利用直线与圆相切找到两个待定系数间的关系，再利用勾股定理将PQ表示成关于q的函数，利用函数的单调性求其最值即可试题解析：如图，以O为原点、直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系.设P（p, 0），Q（0, q）且PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为（1）由题意可设直线PQ的方程为，即因为PQ与圆A相切，所以，解得，故当点P与O处2百米时，OQ的长为百米.（2）设直线PQ的方程为，即.因为PQ与圆A相切，所以，化简得在Pt、POQ中，.令则当时，，即f(q)在（上单调递减；当时，，即f(q)在上单调递增.所以f(q)在时取得最小值，故当公路PQ 的长最短时，OQ 的长为百米.答：（1）当点P 距O 处2百米时，OQ 的长为百米；（2）当公路PQ 的长最短时，OQ 的长为百米.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；直线和圆的方程的应用6．（1）2212x y +=（2）不存在满足题意的直线l ，使得C 1C ＝C 1D.【解析】试题分析：（1）写出两圆的圆心坐标，根据∵| 1PC |+| 2PC |= 2=| 12C C |可知动点P 的轨迹是以1C 和2C 为焦点、长轴长为2a = 即所求轨迹方程；（2）当斜率不存在时容易判断，当存在斜率时，设直线l 的方程为2y k x =-（），联立直线l 方程与椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，则有0>，设交点C ()11,x y ，D ()22,x y ，CD 的中点为N ()00,x y ，求出二次方程的两解，从而可得线段CD中点N 的横坐标，代入直线方程可得纵坐标，要使11C C C D =，必须有1C N l ⊥，即11C N k k ⋅=-，解出方程的解k ，再检验是否满足0>即可试题解析：（1）两圆的圆心坐标分别为110C （，）， ()210C -，，因为12122PC PC C C +=>=，所以根据椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以原点为中心、C 1C 2为焦点、长轴长为2a =的椭圆，且a =1c ＝， 1.b ===所以椭圆的方程为2212x y +=，即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y +=. （2）当直线l 的斜率不存在时，易知点2,0A （）在椭圆M 的外部，直线l 与椭圆M 无交点，此时直线l 不存在.故直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为()2.y k x =-由()221,{ 22x y y k x +==-得()2222218820.k x k x k +-+-= ①依题意，有()()()22228421820k k k ∆=--+->，解得22k -<<当22k -<<时，设交点C(x 1，y 1)，D （x 2，y 2），CD 的中点为N （x 0，y 0），则212024221x x k x k +==+，所以()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=-=-=- ⎪++⎝⎭.要使11C C C D =，必须有1C N l ⊥，即11C Nk k ⋅=-，所以222202114121kk k kk --+⋅=--+，即10－＝，矛盾，所以不存在直线l ，使得11C C C D =，综上所述，不存在满足题意的直线l ，使得11C C C D =7．（1）23z i =-；（2）11m -<< 【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i =-代入得()()23123Z m m m i =--+--，由复数的概念和几何意义得()210230m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得11m -<<.试题解析：（1、1255z z i =-+、21555532i iz i z i-+-+===--+ 、2、()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦()()2231i m m m i ⎡⎤=--+-⎣⎦()()2123m m m i =--+--由于3z 所对应的点在第四象限、、所以实数m 的取值范围是8．（1）34x -≤≤；（2）31m -≤≤.【解析】试题分析：先化简命题,p q ，求出相应的数集；（1）根据真值表判定,p q 的真假，进行讨论求解；（2）由p 是q 的必要不充分条件推出相应数集之间的包含关系，进而求解. 试题解析：（1）当4m =时， :14q x -≤≤，又:31p x -≤≤.因为命题“p 或q ”为真，则p q 真真或p q 真假或p q 假真，所以14{31x x -≤≤-≤≤或14{31x x x -≤≤-或或14{31x x x --≤≤或，解得34x -≤≤；所以满足“p 或q ”为真的x 的取值范围为34x -≤≤.（2）由题意，得命题p 对应的数集为[]3,1A =-,命题q 对应的数集为B ;因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ≠⊂,则()()230{210m m ---≥-≥，解得31m -≤≤.9．221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】 【分析】设所求圆的方程为()22241240x y x y x y λ++-+++=+，即()2222x y x λ++++()4410y λλ-++=，可得出圆的半径为r =二次函数求出圆的半径的最小值，并求出对应的λ的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为()22241240x y x y x y λ++-+++=+，即()()22224410x y x y λλλ++++-++=，则圆的半径为r ==当168255λ-=-=⨯时，圆的半径取最小值， 因此，所求圆的方程为222612370555x y x y ++-+=，即221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查交点系方程的应用，在求过两曲线交点的曲线系方程时，可利用交点系方程求解，本题求解交点圆的方程，需将圆的方程化为一般方程，并根据圆的一般方程得出圆的圆心坐标和半径，考查运算求解能力，属于中等题. 10．（1）详见解析；（2）1BM =【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理；(2)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证. 试题解析：（1）证明：连结CE 交AD 于O ，连结OF .因为,CE AD 为ABC ∆中线，则O 为ABC ∆的重心，故123CF CO CC CE ==,故1//OF C E .…………………………4分因为OF ⊂平面ADF ,1C E ⊄平面ADF ，所以1//C E 平面ADF …………………………6分（2）解：当1BM =时，平面CAM ⊥平面ADF .…………………………7分 因为AB AC =，故.AD BC ⊥…………………………8分在直三棱柱111ABC A B C -中， 1BB ⊥平面ABC , 1BB ⊂平面11B BCC ,故平面11B BCC⊥平面ABC .又平面11B BCC ⋂平面ABC BC =,AD ⊥平面11B BCC ， CM ⊂平面11B BCC ,故AD CM ⊥.又1,2,1,2,BM BC CD FC ====故CBM FCD ∆≅∆.…………………………10分 易证,CM DF ⊥ DF 与AD 相交， 故CM ⊥平面ADF .又CM ⊂平面CAM ，故平面CAM ⊥平面ADF .…………………………12分考点：空间直线与平面之间的位置关系等有关定理的综合运用． 11．（1）y=x （2）y=122x +（3）x=4（4）x ＞4【解析】试题分析：解：（1）设y=kx ，、直线过（4，4）两点，、4=4k ，、k=1，、y=x ； （2）设y=kx+b ，、直线过（0，2）、（4，4）两点，、2=b ，4=4k+2，、k=，、y=（3）由图象知，当x=4时，销售收入等于销售成本，x=、x=4；（4）由图象知：当x ＞4时，工厂才能获利，即（）＞0时，即x ＞4时，才能获利考点：函数的运用点评：主要是考查了待定系数法求解解析式，以及运用函数与不等式来求解范围，属于基础题．12．、Ⅰ）实数a 的取值范围是2a > 、、Ⅱ）实数a 的取值范围是124a <≤、 【解析】试题分析：由二次函数和不等式的性质分别可得p 真和q 真时的a 的取值范围，再由“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则p 、q 一真一假，分类讨论取并集可得． 试题解析：（1）命题p 是真命题，则有0a >、∆<0、a 的取值范围为2a >、、2）命题q 是真命题，不等式39x x a -<对一切x ∈R 均成立，设39x x y =-，令30x t =>，则2y t t =-、0t >，当12t =时，max 111244y =-=、所以14a >、命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则p 、q 一真一假． 、p 真q 假，2a >，且14a ≤，则得a 不存在；②若p 假q 真，则得124a <≤、 综上，实数a 的取值范围124a <≤、 13．（1）min 1a = ； （2）ln221b -<≤- ； （3）21nn a ≤-【解析】试题分析：（I ）依题意，对任意的[)1,x ∈+∞， ()0f x ≤恒成立，即ln 10x ax -+≤在1x ≥恒成立，则ln 1x a x +≥，而'2ln 1ln 0x x x x +⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭，所以ln 1x y x +=在[)1,+∞是减函数， ln 1x y x+=最大值为1，所以， 1a ≥，实数a 的最小值。