《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

非负性：对于某一事件B ，有0)|(≥A B P2。

规范性：对于必然事件S ，1)|(=A S P3可列可加性：设 ,,21B B 是两两互不相容的事件，则有∑∞=∞==11)()(i i i i A B P A B P（3） 乘法定理 设0)(>A P ，则有)|()()(B A P B P AB P =称为乘法公式（4） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(贝叶斯公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(§6．独立性定义 设A ，B 是两事件，如果满足等式)()()(B P A P AB P =，则称事件A,B 相互独立 定理一 设A ，B 是两事件，且0)(>A P ，若A ，B 相互独立，则()B P A B P =)|( 定理二 若事件A 和B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与————与，与，B A B A B第二章 随机变量及其分布§1随机变量定义 设随机试验的样本空间为X(e)X {e}.S ==是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称X(e)X =为随机变量§2离散性随机变量及其分布律1． 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量k k )(p x X P ==满足如下两个条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞=1k k P =12． 三种重要的离散型随机变量（1）(0−1)分布设随机变量X 只能取0与1两个值，它的分布律是)101,0k p -1p )k (k-1k <<===p X P （，）（，则称X 服从以p 为参数的(0−1)分布或两点分布。

（2）伯努利实验、二项分布设实验E 只有两个可能结果：A 与—A ，则称E 为伯努利实验.设1)p 0p P(A)<<=（，此时p -1)A P(=—.将E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的独立实验为n 重伯努利实验。

n 2,1,0k q p k n )k X (k-n k ，，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==P 满足条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞=1k k P =1注意到k-n k q p k n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛是二项式n q p ）（+的展开式中出现kp 的那一项，我们称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。

（3）泊松分布设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为,2,1,0,k!e )k X (-k ===k P λλ其中0>λ是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布记为）（λπ~X §3随机变量的分布函数定义 设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数∞<<∞≤=x -x},P{X )x (F 称为X 的分布函数分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质(1) )(x F 是一个不减函数 （2）1)(,0)(1)(0=∞=-∞≤≤F F x F ，且 （3）是右连续的即)(),()0(x F x F x F =+§4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X 的分布函数F （x ），存在非负可积函数)(x f ，使对于任意函数x 有,dt t f )x (F x-⎰∞=）（则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度1 概率密度)(x f 具有以下性质，满足（1）1)((2) ,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（3）⎰=≤≤21)()(21x x dx x f x X x P ；（4）若)(x f 在点x 处连续，则有=)(F x ，)(x f 2,三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布若连续性随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，0a a -b 1)(bx x f ，则成X 在区间(a,b)上服从均匀分布.记为），（b a U ~X(2)指数分布若连续性随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=，其他，00.e1)(x -x x f θθ其中0>θ为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。

（3）正态分布若连续型随机变量X 的概率密度为，，）∞<<∞=--x ex f x -21)(222(σμσπσμσσμ，服从参数为为常数，则称（，其中X )0>的正态分布或高斯分布，记为），（2N ~X σμ 特别，当10==σμ，时称随机变量X 服从标准正态分布§5随机变量的函数的分布定理 设随机变量X 具有概率密度,-)(x ∞<<∞x x f ，又设函数)(x g 处处可导且恒有0)(,>x g ，则Y=)(X g 是连续型随机变量，其概率密度为[]⎩⎨⎧<<=其他，0,)()()(,βαy y h y h f y f X Y 第三章 多维随机变量§1二维随机变量定义 设E 是一个随机试验，它的样本空间是X(e)X {e}.S ==和Y(e)Y =是定义在S 上的随机变量，称X(e)X =为随机变量，由它们构成的一个向量（X ，Y ）叫做二维随机变量设（X ，Y ）是二维随机变量，对于任意实数x ，y ，二元函数y}Y x P{X y)}(Y x)P{(X y x F ≤≤≤⋂≤=，记成），（称为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数如果二维随机变量（X ，Y ）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X ，Y ）是离散型的随机变量。

我们称 ，，，，2,1j i )y Y (ij j i ====p x X P 为二维离散型随机变量（X ，Y ）的分布律。

对于二维随机变量（X ，Y ）的分布函数），（y x F ，如果存在非负可积函数f （x ，y ），使对于任意x ，y 有，），（），（⎰⎰∞∞=y -x-dudv v u f y x F 则称（X ，Y ）是连续性的随机变量，函数f （x ，y ）称为随机变量（X ，Y ）的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度。

§2边缘分布二维随机变量（X ，Y ）作为一个整体，具有分布函数），（y x F .而X 和Y 都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为）（（y ),x F X Y F ，依次称为二维随机变量（X ，Y ）关于X 和关于Y 的边缘分布函数。

，，2,1i }x P{X p 1j i ij i ====∑∞=•p，，2,1j }y P{Y p 1i i ij ====∑∞=•j p分别称•i p j p •为（X ，Y ）关于X 和关于Y 的边缘分布律。

⎰∞∞-=dy y x f x f X ）,()( ⎰∞∞-=dx y x f y f Y ）,()(分别称)(x f X ，)(y f Y 为X ，Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度。

§3条件分布定义 设（X ，Y ）是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若,0}{>=j y Y P 则称 ,2,1,}{},{}{========•i p p y Y P y Y x X P y Y x X P jij j j i j i 为在j y Y =条件下随机变量X 的条件分布律，同样,2,1,}{},{}{========•j p p x X P y Y x X P X X y Y P i ij i j i i j 为在i x X =条件下随机变量X 的条件分布律。