引入机械能 E Ek E p
A外 A非保内 Eb Ea
质点系的功能原理：质点系所受外力的功与非保守内力的功 等于系统机械能的增量。
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律 (一保守力 二势能 三功能原理)
2.7.4 机械能守恒定律
由质点系的功能原理 A外 A非保内 Eb Ea
当 A外 A非保内 0 时
A重力 (mghb mgha ) =-(末□－初□)
A弹性
( 1 2
k xb2
1 2
kxa2 )
=-(末□－初□)
A万有
(G
Mm) rb
(G
Mram)=-(末□－初□)
A→△能量→ mgh、1 kx2、 G Mm ——某种能量
2
r
2.概念 这种由物体间相对位置决定的能量——称为势能——Ep
A保守力 E p
(2)概念 保守力———做功与路径无关，只取决于始末位置 如：重力、弹性力、万有引力
非保守力——不具有这种性质的力 如：摩擦力
(3)说明 保守力的另一种表述：
沿任一闭合路径运动一周时，做功为零的力
数学表达
F
dr
0
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律（—力做功特点、保守力）
2.7.2 势能 1.保守力做功的启示
mvm (m M )v共 v共
(2)m、M、弹簧、地球系统
E(2) Ek E p重 E p弹
Ek E p重
1
2
(m M 0；E p弹
)v共 1
2
kl
2
l Mg k E(2)
(3)E=C → E(2)=E(3)
E(3)
(m
M
)gh
1 2
k (l
h)2
h
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律——习题
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律
例1 已知地球质量为M，半径为R。有一质量为m的火箭
从地面上升到2R的高度，求此过程中地球引力对火箭的功。
解：地球、火箭引力——保守力
A保 (E p末 E p初 )
选 Ep 0
有
E p引
G
Mm r
则 A (G Mm) (G Mm ) G 2Mm
（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
C
D
C
D
A
B
A
B
AC和BD之间无相对滑动，机械能守恒。有滑动，不守恒
例 小车以 vv0 沿水平面向右作匀速直线运动，车箱内A端
固定一弹簧，弹簧另一端连一质量为m的物体在光滑水平面 上运动，左右运动。
3.性质
★保守性——只有在保守力场中才有； ★系统性——属物体系所共有； ★相对性——势能差有绝对意义，而势能只有相对
意义。与势能零点选择有关
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律（— 做功特点 保守力二势能）
4.势能的值
①值的确定
由
A保
b a F保 dr (Epb Epa )
A保守力 E p
2.7.3 功能原理
由质点系动能定理 A外 A内 Ekb Eka
内力分为保守内力与非保守内力 ？
系 统
地球
A引→内、外？ →保？×
A外 A保内 A非保内 Ekb Eka
由保守力的功和势能增量的关系 A保内 (Epb Epa )
A外 A非保内 (Ekb E pb ) (Eka E pa )
路径无关。
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律（一做功特点 ①重力）
(2)弹性力做功
求：Aab 可证：A
(
1 2
k xb2
1 2
k xa2
)
a
b
表明：弹性力作功仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。
(3)万有引力做功
b
求：如图 Aab
M
rb
可证：A
(G
Mm) rb
(G
Mram)
表明：重力作功仅与物体的始末位置有关，
力可能不作功，而相对另一个
惯性系，该外力可能作功。
例4：如图所示，一轻弹簧两端分别为m1 ,m2两个物体，问：至少要 用多大的力F压下m1，松手后，弹簧才能把下面物体带离地面？
解： 系统：m1、m2、弹簧、地球
y
分析力
分析力：除F外全为保守力(之后E=C) y3
建坐标：原长时m1位为O点
o
m1
选： E p重O 0 E p弹O 0
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律—位置
运
动 —描述
质学 点
牛顿定律
F
ma
力 学
动
力 学
—
作用 规律
动量定理 角动量定理
t2
t1
F合外dt
p2
dL
p1
→守恒
M 合外 dt →守恒
刚
动能定理
A合 F dr Ek2 Ek1
体
——进而→机械能守恒
机械能→势能→保守力→做功与路径无关的力
问：(1)以车箱为参考系弹簧振子在运动过程中机械能是否守恒 (2)以地面为参考系……
解：系统——弹簧振子
——弹簧、m
A外 A非保内 0 ？
(1) A非保内 0
A外 A重力 A支持 AA点拉力 =0
守恒
(2) A非保内 0
这是因为作功与参考系有关，
AA点拉力 0
不守恒 在同一个物理过程中，相对一 个惯性系，作用在系统上的外
R
2R R
3R
初态
末态
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律
例2 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿水平 方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、B、C、D 组成的系统
若选Epb=0
则a点势能值为
Epa
参考零 a
F保
dr
——确定
②常见势能
重力势能：若选 E p(h0) 0 弹性势能：若选 E p(无形变) 0
万有引力势能： 若选 E p() 0
Ep mgh
Ep
1 2
k x2
mM Ep G r
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律 (一保守力 二势能)
0时
A合力 Ek 2 Ek1
功能原理 A外 A非保内 E2 E1 机械能守恒 当A外 A非保内 0时
重要概念：动量、冲量、功、保守力、势能、动能、机械能 计算：各量的独立计算、应用定理定律计算、必要的文字说明
完
y1
m1
F
守恒：1 2
k y22
m1gy2
1 2
k y32
m1gy3 (1)
y2
m1
Ep重m2 不变；y 值
平衡方程：ky2 m1g F (2)
临界条件：ky3 m2 g (3)
m2 放置m1
m2 加力F
m2 弹起
可解，得
(1)分两个阶段
①m下落阶段 碰前vm 2gh ②mM碰阶段 动量守恒
P74: 2-22；2-24； 2-25 提示： vmax 时对应 m1、m2 同位置时
此时弹簧无形变
§2 质点动力学——小结
运动学 —描述
质
牛顿运动定律
点 动 动量定理
力 学
力 学 角动量定理
动能定理
刚 体
F
ma•
•
•
t2
Fdt
t1
dL
M
dt
p2
p1
守恒
守恒 F合外 M合外 0时
结果：是已知的 关注：物理思想
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律
2.7.1 几种力做功的特点 保守力
1. 几种力做功的特点 (1)重力做功
求：如图 Aab
ya ha
m
解：因只受y方向重力
hb
b
A F dr Fydy
z
hb ha
mgdy
(mghb
O
mgha )
x
表明：重力作功仅与物体的始末位置有关，而与所经历的
ra
而所经历的路径无关。
m a
小结：重力、弹性力、万有引力的共同特征:…
A重 (mghb mgha ) =-
=-(末□－初□)
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律（—力做功特点）
2.保守力与非保守力
(1)上面结果 重力、弹性力、万有引力做功均与路径无关， 只取决于始末位置
Eb Ea 恒
机械能守恒定律：只有保守内力作功的情况下，质点系的
机械能保持不变 .
守恒定律的意义：不究过程细节而能对系统的状态下结论， 这是各个守恒定律的特点和优点
解题步骤
1、选择研究系统与过程；
4、描述初、末状态；
2、分析外力、非保守力作功； 5、应用机械能定律列方程。
3、确定势能零点；
6、求解方程。