第十二章 线性回归分析
双变量计量资料：每个个体有两个变量值 总体：无限或有限对变量值 样本：从总体随机抽取的n对变量值 （X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn） 目的：研究X和Y的数量关系 方法：回归与相关
简单、基本——直线回归、直线相关
历史背景：
英国人类学家 F.Galton首次在《自然遗传》 一书中，提出并阐明了“相关”和“相关系数” 两个概念，为相关论奠定了基础。其后，他和 英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身 高、臂长、拃长（伸开大拇指与中指两端的最
215.6 (ΣY)
X2
(4)
93452.49 35569.96 76839.84 133079.04 81396.09 59878.09 65484.81 22440.04 72307.21 61305.76 28493.44 40240.36 770487.13
( X 2 )
Y2
(5)
556.96 216.09 368.64 767.29 357.21 259.21 295.84 166.41 334.89 313.29 187.69 243.36 4066.9
目前，“回归”已成为表示变量 之间某种数量依存关系的统计学术语， 并且衍生出“回归方程”“回归系数” 等统计学概念。如研究糖尿病人血糖 与其胰岛素水平的关系，研究儿童年 龄与体重的关系等。
第一节 两相关变量的散点图
一、直线回归的概念
目的：研究应变量Y对自变量X的数量依 存关系。
特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系， 不同于一般数学上的X 和Y的函数 关系。
b lXY 2681.6 0.0648 lXX 41389.4
a Y bX 17.97 (0.0648)(246.49) 2.00
5．列出回归方程（回归直线绘制见图 12-
YˆY ˆ2 .002 .00 .00 64 8X0.0648X
X X
此直线必然通过点( , )且Y 与纵坐标轴相交
1．回归系数的方差分析
理解回归中方差分析的基本思想， 需要对应变量Y 的离均差平方和lYY 作分 解如图 12－4 所示.
(Y 2 )
XY (6)
7214.52 2772.42 5322.24 10104.96 5392.17 3939.67 4401.48 1932.42 4920.87 4382.52 2312.56 3129.36
55825.2 (ΣXY)
30
25
体重增加量（g)，Y
20
15
10
5
130
180
230
第二节
回归方程
一、直线回归方程的一般表达式为
Y ˆabX (121)
Y ˆ 为各X处Y的总体均数的估计。
二、直线回归方程的求法
➢残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定 回归线上的估计值 Y ˆ 的纵向距离 Y Yˆ 。
➢求解a、b实际上就是“合理地”找到一条 能最好地代表数据点分布趋势的直线。
由图12-1可见，体重增加量有随进食 量增加而增大的趋势，且散点呈直线趋势， 但并非12个点都在直线上 ，此与两变量间 严格的直线函数关系不同，称为直线回归
（linear regression）,其方程叫直线回归方程，以 区别严格意义的直线方程。
回归是回归分析中最基本、最简单的一种， 故又称简单回归。
大长度）做了测量，发现：
儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，
英寸）存在线性关系：
。
Y ˆ也即33 高.73 个 子0.父51 代6X 的子代在成年之后的身
高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水
平，而矮个子父代的子代的平均身高不是更
矮，而是稍高于其父代水平。Galton将这种
趋向于种族稳定的现象称之“回归”。
例12-2 （续例12-1） 根据表121数据，对大白鼠的体重增加量进行 回归分析。
解题步骤
1．由原始数据及散点图（图 12-1） 的观察，两变量间呈直线趋势，故作下 列计算。
2．计算 X 、Y 的均数 X 、Y 。 3．计算离均差平方和 lXX 、lYY 与离 均差积和 lXY 。
4．求回归系数 b和截距 a。
为了直观地说明两相关变量的线性 依存关系，用表12-1第（2）、（3） 列中大白鼠的进食量和体重增加量 的数据在坐标纸上描点，得图12-1所 示的散点图（scatter plot）。
例12-1 用某饲料喂养12只大白鼠， 得出大白鼠的进食量与体重增加量 如表12-1，试绘制其散点图。
表12-1 12只大白鼠的进食量（g）与体重增加量(g)测量结果
序号 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 (g)X (2)
305.7 188.6 277.2 364.8 285.3 244.7 255.9 149.8 268.9 247.6 168.8 200.6
2957.9 (ΣX)
体重增加量(g) Y (3)
23.6 14.7 19.2 27.7 18.9 16.1 17.2 12.9 18.3 17.7 13.7 15.6
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可 保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小
blXY lXX
(XX)(YY) (XX)2
aYbX
(12-2)
（12-3）
式 中 lX Y 为 X 与 Y 的 离 均 差 乘 积 和 :
lX Y (X X ) ( Y Y ) X Y ( X n ) ( Y )( 1 2 6 )
于截距 。如a果散点图没有从坐标系原点开
始，可在自变量实测范围内远端取易于读
数的 值代入X回归方程得到一个点的坐标，
连接此点与点( , )也可绘出回Y 归直线。
第三节 回归系数的假设检验
建立样本直线回归方程，只是完成 了统计分析中两变量关系的统计描述， 研究者还须回答它所来自的总体的直线 回归关系是否确实存在，即是否对总体 有 0？
280
330
380
进食量（g），X
图 12-1 12只大白鼠进食量与体重增重量散点图
在定量描述大白鼠进食量与体重增 加量数量上的依存关系时，习惯上将进 食量作为自变量（independent variable）， 用X表示；体重增加量作为应变量 （dependent variable），用Y表示。