2019年常州市中考数学试题、答案（解析版）(满分：120分 考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的) 1.3-的相反数是( )A .13B .13-C .3D .3- 2.若代数式13x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( )A .1x =-B .3x =C .1x ≠-D .3x ≠3.下图是某几何体的三视图,该几何体是( )A .圆柱B .正方体C .圆锥D .球(第3题) (第4题) 4.如图,在线段PA 、PB 、PC 、PD 中,长度最小的是 ( ) A .线段PA B .线段PB C .线段PC D .线段PD5.若ABC A B C '''△∽△,相似比为1:2,则ABC A B C '''△∽△的周长的比为 ( ) A .2:1 B .1:2 C .4:1 D .1:46.下列各数中与23+的积是有理数的是( )A .23+B .2C .3D .23-7.判断命题“如果1n ＜,那么210n -＜”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n 可以为 ( )A .2-B .12-C .0D .12米8.随着时代的进步,人们对 2.5PM (空气中直径小于等于2.5微的颗粒)的关注日益密切.某市一天中 2.5PM 的值()31/y ug m 随极时间()t h 的变化如图所示,设2y 表示0时到t 时 2.5PM 的值的函差(即0时到t 时 2.5PM 的最大值与最小值的差),则2y 与t 的数关系大致是( )ABCD二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 9.计算：3a a ÷= . 10.4的算术平方根是 . 11.分解因式：24ax a -= .12.如果35α∠=︒,那么α∠的余角等于 ︒.13.如果20a b --=,那么代数式122a b +-的值是 . 14.平面直角坐标系中,点()3,4P -到原点的距离是 .15.若12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程3ax y +=的解,则a = .16.如图,AB 是O e 的直径,C 、D 是O e 上的两点,120AOC ∠︒＝,则CDB ∠＝ .(第16题)(第17题)(第18题)17.如图,的O e 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切,连接OC ,则tan OCB ∠= .18.如图,在矩形ABCD 中,3AD AB ==点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,2CE BE =,点M 、N 在线段BD 上.若PMN △是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,则MN = . 三、解答题(本大题共10小题,共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题满分8分)计算：(1)1212π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)(1)(1)(1)x x x x -+--.20.(本题满分6分)解不等式组1038x x x +>⎧⎨--⎩…并把解集在数轴上表示出来.21.(本题满分8分)如图,把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠,点C 落在点C '处,BC '与AD 相交于点E .(1)连接AC ',则AC '与BD 的位置关系是 ； (2)EB 与ED 相等吗？证明你的结论.22.(本题满分8分)在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位：元),并绘制成下面的统计图.(1)本次调查的样本容量是 ,这组数据的众数为 元； (2)求这组数据的平均数；(3)该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.23.(本题满分8分)将图中的A 型(正方形)、B 型(菱形)、C 型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.(1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接)24.(本题满分8分)甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？25.(本题满分8分)如图,在□OABC 中,OA =45AOC ∠=︒,点C 在y 轴上,点D 是BC 的中点,反比例函数(0)ky x x=＞的图像经过点A 、D . (1)求k 的值； (2)求点D 的坐标.26.(本题满分10分)【阅读】 数学中,常对同一个量．．．．(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.图1图2【理解】(1)如图1,两个边长分别为a b c 、、的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论；(2)如图2,n 行n 列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式：2n = ； 【运用】(3)n 边形有n 个顶点,在它的内部再画m 个点,以()m n +个点为顶点,把n 边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得y 个这样的三角形.当3n =,3m =时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以7y =.①当4n =,2m =时,如图4,y = ；当5n =,m = 时,9y =；图3图4②对于一般的情形,在n 边形内画m 个点,通过归纳猜想,可得y = (用含m 、n的代数式表示).请对同一个量．．．．用算两次的方法说明你的猜想成立.27.(本小题满分10分)如图,二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为()1,0-,点D 为OC 的中点,点P 在抛物线上.(1)b = ；(2)若点P 在第一象限,过点P 作PH x ⊥轴,垂足为H ,PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N .是否存在这样的点P ,使得PM MN NH ==？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由；(3)若点P 的横坐标小于3,过点P 作PQ BD ⊥,垂足为Q ,直线PQ 与x 轴交于点R ,且2PQB QRB S S =△△,求点P 的坐标.________________ _____________28.(本题满分10分)已知平面图形S ,点P 、Q 是S 上任意两点,我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度. (1)写出下列图形的宽距：①半径为1的圆： ；②如图1,上方是半径为1的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形”： ；(2)如图2,在平面直角坐标系中,已知点()10A -，、()10B ，,C 是坐标平面内的点,连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ,记S 的宽距为d .①若2d =,用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)；②若点C 在上运动,M e 的半径为1,圆心M 在过点()02，且与y 轴垂直的直线上.对于M e 上任意点C ,都有58d ≤≤,直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围.图1图22019年常州市中考数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可. 解：()330-+=. 【考点】相反数的意义 2.【答案】D【解析】分式有意义的条件是分母不为0. 解：Q 代数式13x x +-有意义， 30x ∴-≠， 3x ∴≠.故选：D .【考点】分式有意义的条件 3.【答案】A【解析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥.解：该几何体是圆柱. 故选：A .【考点】由三视图判断几何体 4.【答案】B【解析】由垂线段最短可解.解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B . 故选：B .【考点】直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短. 5.【答案】B【解析】直接利用相似三角形的性质求解 解：ABC A B C '''Q △∽△，相似比为1:2，ABC A B C '''△∽△的周长的比为1:2.故选B .【考点】相似三角形的性质 6.【答案】D【解析】利用平方差公式可知与2+的积是有理数的为2；解：(22431+=-=Q ； 故选：D .【考点】二次根式的有理化以及平方差公式 7.【答案】A【解析】反例中的n 满足1n ＜，使210n -≥，从而对各选项进行判断. 解：当2n =-时，满足1n ＜，但2130n -=＞，所以判断命题“如果1n ＜，那么210n -≥”是假命题，举出2n =-. 故选：A .【考点】命题与定理 8.【答案】B【解析】根据极差的定义，分别从0t =、010t ＜≤、1020t ＜≤及2024t ＜≤时，极差2y 随t 的变化而变化的情况，从而得出答案. 解：当0t =时，极差285850y =-=，当010t ＜≤时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为43； 当1020t ＜≤时，极差2y 随t 的增大保持43不变； 当2024t ＜≤时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为98； 故选：B . 【考点】函数图象 二、填空题 9.【答案】2a【解析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案. 解：32a a a ÷=. 故答案为：2a .【考点】同底数幂的除法 10.【答案】2【解析】根据算术平方根的含义和求法，求出4的算术平方根是多少即可. 解：4的算术平方根是2. 故答案为：2.【考点】算术平方根的概念 11.【答案】()()22a x x +-【解析】先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 【解答】解：24ax a -()24a x =- ()()22a x x =+-.【考点】提公因式法与公式法的综合运用 12.【答案】55【解析】若两角互余，则两角和为90︒，从而可知α∠的余角为90︒减去α∠，从而可解. 【解答】解：35α∠=︒Q ，α∴∠的余角等于903555︒-︒=︒，故答案为：55. 【考点】余角 13.【答案】5【解析】将所求式子化简后再将已知条件中a ﹣b=2整体代入即可求值； 【解答】解：20a b --=Q ，2a b ∴-=，()12212145a b a b ∴+-=+-=+=；故答案为5.【考点】求代数式的值 14.【答案】5【解析】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =，再根据勾股定理求解. 【解答】解：作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =. 则根据勾股定理，得5OP =. 故答案为5.【考点】点到原点的距离求法15.【答案】1【解析】把12x y =⎧⎨=⎩代入二元一次方程3ax y +=中即可求a 的值.【解答】解：把12x y =⎧⎨=⎩代入二元一次方程3ax y +=中，23a +=，解得1a =.故答案是：1.【考点】二元一次方程的解 16.【答案】30【解析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆周角定理得到CDB ∠的度数. 【解答】解：180********BOC AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒Q ，30CDB BOC ∴∠=∠=︒.故答案为30. 【考点】圆周角定理 17.【解析】根据切线长定理得出1302OBC OBA ABC ∠=∠=∠=︒，解直角三角形求得BD ，即可求得CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得tan OCB ∠的值. 【解答】解：连接OB ，作OD BC ⊥于D ，O Q e 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，1302OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠=︒，tan ODOCB∴∠=， 3tan30OD BD ∴===︒，835CD BC BD ∴=-=-=，tan 5OD OCB CD ∴∠==. .【考点】切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形 18.【答案】6或158【解析】3AD AB ==Q，AB ∴=Q 四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴==AB CD∴==90A C ∠=∠=︒，10BD∴==，2CE BE=Q ，CE ∴=，BE=DE ∴=，1tan 2CD DEC CE ∠===， Q 点P 是AD 的中点，12PD AD ∴==①如图1，当MN 为底边时，则PM PN =，PMN PNM DEC ∠=∠=∠， 过点P 作PQ MN ⊥，则MQ NQ =，2MN MQ ∴=，90A PQD ∠=∠=︒Q ，ADB PDQ ∠=∠，BAD PQD ∴△∽△， 2PD PQ AB BD∴==，210= 解得32PQ =；在Rt PMQ △中，1tan tan 2PQ PMN DEC MQ ∠==∠=Q ， 12PQ MQ ∴=，即3122MQ =， 3MQ ∴=， 26MN MQ ∴==.②如图2，当MN 为腰时，则PM MN =，MPN MNP DEC ∠=∠=∠， 过点M 作MQ PN ⊥于点Q ，则PQ NQ =，MNP DEC ∠=∠Q ，PND DEB ∴∠=∠，又AD BC Q ∥，PDN DBE ∴∠=∠，PND DEB ∴△∽△， PD PNBD DE ∴=，210∴=解得PNNQ ∴在Rt MNQ △中，1tan tan 2MQ MNP DEC NQ ∠==∠=Q ， 12MQ NQ ∴=，即132MQ =，MQ ∴158MN ∴==.综上所述，MN 的值为6或158.【考点】矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理 三、解答题19.【答案】（1）12112302π-⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭；（2）22(1)(1)(1)11x x x x x x x x -+--=--+=-.【解析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可； 【考点】实数的运算20.【答案】解：解不等式10x +＞，得：1x -＞， 解不等式38x x --≤，得：2x ≤， ∴不等式组的解集为12x -＜≤，将解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【考点】不等式组的解法及在数轴上表示不等式的解集 21.【答案】（1）AC BD '∥ （2）EB 与ED 相等.证明：由折叠可得，'CBD C BD ∠=∠，AD BC Q ∥， ADB CBD ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠， BE DE ∴=.【解析】（1）根据'AD C B =，ED EB =，即可得到'AE C E =，再根据三角形内角和定理，即可得到''EAC EC A EBD EDB ∠=∠=∠=∠，进而得出'AC BD ∥；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到EDB EBD ∠=∠，进而得出BE DE =. 【考点】折叠变换的性质，平行四边形的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质22.【答案】（1）30,10 （2）这组数据的平均数为6511108155201230⨯+⨯+⨯+⨯=（元）； （3）估计该校学生的捐款总数为600127200⨯=（元）.【解析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530+++=，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果； （3）由总人数乘以平均数即可得出答案.【考点】条形统计图的综合运用，平均数，众数的求法以及利用样本估计总体的思想 23.【答案】（1）23； （2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ， ∴拼成的图形是轴对称图形的概率为21=63. 【解析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率.解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种， ∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23； 故答案为：23； （2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ， ∴拼成的图形是轴对称图形的概率为21=63. 【考点】用列表法或画树状图求事件的概率以及轴对称图形和中心对称图形的识别 24.【答案】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做()30x -个零件， 由题意得：18012030x x=-， 解得：18x =，经检验：18x =是原分式方程的解， 则301812-=（个）.答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件.【解析】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做()30x -个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可. 【考点】分式方程的应用25.【答案】解：（1）OA =Q 45AOC ∠=︒，()22A ∴，4k ∴=，4y x∴=；（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，AB x ∴⊥轴，B ∴的横纵标为2，Q 点D 是BC 的中点， ∴D 点的横坐标为1，()14D ∴，.【解析】（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，则有AB x ⊥轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解.【考点】平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图像上点的坐标特点及用待定系数法求反比例函数的解析式26.【答案】解：（1）有三个Rt △其面积分别为ab ，12ab ，212c . 直角梯形的面积为1()()2a b a b ++. 由图形可知：21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 整理得22222()2,22a b ab c a b ab ab c +=+++=+，222a b c ∴+=.故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中222a b c ∴+=. （2）135721n +++++-L （3）①6 3 ②2(1)y n m =+-方法1.对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，第一个点将多边形分成了n 个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得2(1)y n m =+-.方法2.以ABC △的二个顶点和它内部的m 个点，共(3)m +个点为顶点，可把ABC △分割成32(1)m +-个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共(4)m +个点为顶点，可把四边形分割成42(1)m +-个互不重叠的小三角形.故以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成21n m +-（）个互不重叠的小三角形.故可得2(1)y n m =+-.【解析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理.（2）由图可知n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为2n ，每层棋子分别为135721n -L ，，，，，.故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答.（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论.解：（1）有三个Rt △其面积分别为ab ，12ab ，212c . 直角梯形的面积为1()()2a b a b ++. 由图形可知：21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 整理得22222()2,22a b ab c a b ab ab c +=+++=+，222a b c ∴+=.故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中222a b c ∴+=.（2）n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为2n ，每层棋子分别为135721n -L ，，，，，. 由图形可知：135721n +++++-L .故答案为135721n +++++-L .（3）①如图4，当4n =，2m =时，6y = 如图5，当5n =，3m =时，9y =.②方法1.对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，第一个点将多边形分成了n 个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得2(1)y n m =+-.方法2.以ABC △的二个顶点和它内部的m 个点，共(3)m +个点为顶点，可把ABC △分割成32(1)m +-个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共(4)m +个点为顶点，可把四边形分割成42(1)m +-个互不重叠的小三角形.故以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成21n m +-（）个互不重叠的小三角形.故可得2(1)y n m =+-. 故答案为：①6，3；②21n m +-（）. 【考点】列代数式，求代数式的值，规律探究以及运用知识解决问题 27.【答案】（1）2（2）存在满足条件呢的点P ，使得PM MN NH ==.Q 二次函数解析式为23y x bx =-++，当0x =时3y =，()03C ∴，，当0y =时，2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =.()10A ∴﹣，，()30B ，.∴直线BC 的解析式为3y x =-+. Q 点D 为OC 的中点，302D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，.∴直线BD 的解析式为1322y x =-+， 设()()2,2303P t t t t -++<<，则(),3M t t -+，1322N t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，()0H t ，. 2223(3)3PM t t t t t ∴=-++--+=-+，131332222MN t x t ⎛⎫=-+--+=-+ ⎪⎝⎭，1322NH t =-+，MN NH ∴=.PM MN =Q ，213322t t t ∴-+=-+.解得：112t =，23t =（舍去）.11524P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，.P ∴的坐标为115,24⎛⎫⎪⎝⎭，使得PM MN NH ==.（3）过点P 作PF x ⊥轴于F ，交直线BD 于E .3OB =Q ，32OD =，90BOD ︒∠=，BD ∴==.cos OB OBD BD ∴∠===PQ BD ⊥Q 于点Q ，PF x ⊥轴于点F ， 90PQE BQR PFR ∴∠=∠=∠=︒. 90PRF OBD PRF EPQ ∴∠+∠=∠+∠=︒. EPQ OBD ∴∠=∠，即cos cos EPQ OBD ∠=∠=. 在Rt PQE △中，cos PQ EPQ PE ∠==，PQ ∴=. 在Rt PFR △中，cos PF RPF PR ∠==2PR ∴==2PQB S S QRB =Q △△，12PQB S BQ PQ =V g ，12QRB S BQ QR =g △ 2PQ QR ∴=设直线BD 与抛物线交于点G ，2132322x x x -+=-++Q ，解得：13x =（即点B 横坐标），212x =- ∴点G 横坐标为12-设()2,23(3)P t t t t -++<，则13,22E t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭223PF t t ∴=-++，221353232222PE t t t t t ⎛⎫=-++--+=-++ ⎪⎝⎭①若132t -＜＜，则点P 在直线BD 上方，如图2，223PF t t ∴=-++，25322PE t t =-++2PQ QR =Q23PQ PR ∴=23PE =，即65PE PF =()2253652322t t t t ⎛⎫∴-++=-++ ⎪⎝⎭解得：12t =，23t =（舍去）(2,3)P ∴②若112x --＜＜，则点P 在x 轴上方、直线BD 下方，如图3， 此时，PQ QR <，即2PQB QRB S S =△△不成立. ③若1t <-，则点P 在x 轴下方，如图4，()222323PF t t t t ∴=--++=--，()221353232222PE t t t t t =-+--++=--2PQ QR =Q 2PQ PR ∴=2=，即25PE PF = ()2253252322t t t t ⎛⎫∴--=-- ⎪⎝⎭解得：143t =-，23t =（舍去）413,39P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭综上所述，点P 坐标为()23，或413,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）把点A 坐标代入二次函数解析式即求得b 的值.Q 二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点(1,0)A -130b ∴--+=解得：2b =. 故答案为：2.（2）求点B 、C 、D 坐标，求直线BC 、BD 解析式.设点P 横坐标为t ，则能用t 表示点P 、M 、N 、H 的坐标，进而用含t 的式子表示PM 、MN 、NH 的长.以PM MN =为等量关系列得关于t 的方程，求得t 的值合理（满足P 在第一象限），故存在满足条件的点P ，且求得点P 坐标.（3）过点P 作PF x ⊥轴于F ，交直线BD 于E ，根据同角的余角相等易证EPQ OBD ∠=∠，所以cos cos EPQ OBD ∠=∠=，即在PQE Rt △中，cos PQ EPQ PE ∠==；在PQE Rt △中，cos PF RPF PR ∠==，进而得PQ =，PR =.设点P 横坐标为t ，可用t 表示PE 、PF ，即得到用t 表示PQ 、PR .又由2PQB QRB S S =△△易得2PQ QR =.要对点P 位置进行分类讨论得到PQ 与PR 的关系，即列得关于t 的方程.求得t 的值要注意是否符合各种情况下t 的取值范围.【考点】二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，函数图像的交点问题，用坐标表示线段的长度，二次函数图像上点的坐标特征以及一元二次方程的解法 28.【答案】解：（1）①2理由：①根据宽距的定义，可知在半径为1的半圆中，宽距为半圆的直径即宽距为2； ②如图，作AB 的垂直平分线交半圆于点E ，交AB 于点F ，连接AE ，则AE 的长为该图形的宽距，由题意知1AF =，3EF =，∴宽距AE =；（2）①如图，阴影部分就是点C 所在的区域：()10A -Q ，，()10B ，， 2AB ∴=，S Q 的宽距2d =,∴点C 所在的区域是以AB 为直径的圆的圆面，点C 所在的区域的面积π=；②当M e 在y 轴右侧时，如图，连接AM 1，过点M 1作x 轴的垂线，垂足为C ，设点()12M x ，，则12M C =，1AC x =+，22221(1)2(1)4AM x x ∴=++=++，58d Q ≤≤，147AM ∴≤≤，216(1)449x ∴++≤≤，解得11x ≤≤；当M e 在y 轴的左侧时，如图，连接BM₂，过点M₂作x 轴的垂线，垂足为D ， 设点()2,2M x ，则22M D =，1BD x =-，22222(1)2(1)4BM x x ∴=-+=-+，58d Q ≤≤，247BM ∴≤≤，216(1)449x ∴-+≤≤，解得11x --≤≤；所以圆心M 的横坐标的取值范围是：11x ≤≤或11x --≤≤.【解析】（1）①根据在半圆中最长的弦为直径，即可求解；②如图，根据新定义，作出半圆的最高点E ，连接AE ，然后利用勾股定理求出AE 的长即可； （2）①点C 所在的区域就是以AB 为直径的圆的圆面，然后根据圆的面积公式求解； ②分两种情况：M e 在y 轴右侧和M e 在y 轴左侧，然后根据58d ≤≤列出不等式，求出解集即可.【考点】勾股定理，尺规作图，求不等式的解集，数形结合思想以及分类讨论思想。