三.平抛运动及其推论一、知识点巩固：1 •定义：①物体以一定的初速度沿水平方向抛出，②物体仅在重力作用下、加速度为重力加 速度"这样的运动叫做平抛运动。

2•特点：①受力特点：只受到重力作用。

② 运动特点：初速度沿水平方向，加速度方向竖直向下，大小为g,轨迹为抛物线。

③ 运动性质：是加速度为名的匀变速曲线运动。

注：（1） 平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自山落体运动的合 运动。

2（2） 平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为y =ax+处+心。

（3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度a =s 恒定，所以竖直方向上在相 等的时间内相邻的位移的高度之比为可：旳:53 = 1:3:5…竖直方向上在相等的时间内相邻 的位移之差是一个恒量九一％=弘一口 = &尸（T 表示相等的时间间隔）。

（4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为Q ）方向和位移方向（与 水平方向之间的夹角是0）是不相同的，其关系式taneQ2taii& （即任意一点的速度延长线必 交于此时物体位移的水平分量的中点）。

3•平抛运动的规律：①速度公式:v A =v 0 r v = gt合速度:V z = Jv ； +彳=尿+（g/）,顶点在原点（0、0）,开口向下的抛物线方程。

②位移公式：竽③轨迹方程:③任何相等的时间速度改变量Av=gAz相等，且△一方向竖直向下。

④ 以不同的初速度，从倾角为0的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速 度与斜面的夹角m 相同，与初速度无关。

（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。

）如上图：所以心如⑶怡g所以tan （a + &） = 2tan&, 0为定值故a 也是定值，与速度无关。

⑤ 速度y 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，⑹“ 变大，&T,速度y 与重力的方向越来越鼎近，但永远不能到达。

⑥ 从动力学的角度看：山于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中 机械能守恒。

5、斜抛运动：定义：将物体以一定的初速度沿与水平方向成一定角度抛出，且物体只在重力作用下（不 计4 •平抛运动的结论: 描绘平抛运动的物理量有弘、7、J X 、7、S 、®、6、t,已知这八个物理量中的 任意两个，可以求出其它六个。

②水平射程:,由h, g, v 0共同决定。

①运行时间:ill h, g 决定，与％无关。

tan(n + ^)=—=—V.v %)空气阻力）所做的运动，叫做斜抛运动。

它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向上不受力，加速度为0：在竖直方向上只受重力，加速度为g。

设初速度v。

与水平方向夹角为8。

水平射程：沁兰当& = 45。

时，X最大。

g6、类平抛运动问题：平抛运动是典型的匀变速曲线运动，应掌握这类问题的处理思路、方法并迁移到讨论类平抛运动(如带电粒子在匀强电场中的偏转等)的问题上来.(1)类平抛运动的特点是物体所受的合力为恒力，且与初速度方向垂直(初速度％的方向不一定是水平方向，即合力的方向也不一定是竖直方向，且加速度大小不一定等于重力加速度g)・(2)类平抛运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动的合运动.处理类平抛运动的方法与处理平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何.7、平抛运动中的临界问题：分析平抛运动中的临界问题时一般运用极端分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找出产生临界的条件.例：如图所示，排球场总长为18m,球网高度为2叫运动员站在离网3m的线上(图中虚线所示)正对网向上跳起将球水平击出(球在飞行过程中所受空气阻力不计，g取10m/ s').(1)设击球点在3m线的正上方高度为2. 5m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？(2)若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度.二、平抛运动的常见问题及求解思路：关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问题.有平抛运动与天体运动组合的问题等。

本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。

1.从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度：求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。

［例1］如图所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过汇=5冷的壕沟，沟面对面比A处低必= L25浹，摩托车的速度至少要有多大？ g取10m/s：o 解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为 v n =—=——mis = 10w/s£0.52.从分解速度的角度进行解题速度：v t = v() cos (9 位移：X = V Q cos 0tVy =y°sin&_gr y = v() sin 0/ _ _ g/回落原水平面时间:x \\isinO------ =2 ------v o cos e g对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。

［例2］如图屮所示，以9. 8m/s的初速度水平抛出的物体,飞行一段时间后，垂直地撞在倾角0为30。

的斜面上。

可知物体完成这段飞行的时间是（）'邑$2巧A. 3 B•了S C.D. 2s解析：先将物体的末速度片分解为水平分速度叫和竖直分速度勺（如图乙所示）。

根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以耳二％; 乂因为齐与斜面乖直、◎与水半面垂直，所以片与。

间的夹角等于斜面的倾角珀再根据平抛运动的分解可知物体在竖直 y 方向y y 9g做自山落体运动，那么我们根据皆旣二為二工沁""沁咲站尤可以求出时间£了。

则羽所以根据平抛运动竖直方向是自山落体运动可以写出:所以所以答案为C。

3.从分解位移的角度进行解题：对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫做“分解位移法”）［例3］如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度F同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B,两侧斜坡的倾角分别为37°fll53°,小球均落在坡面上，若不计空气阻力, 则A和B两小球的运动时间之比为多少？解析：37。

和53。

祁是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运川分解位移的方法可以得到tan 37。

= 二羽2v atan53。

= '2v 所以有同理1y 2^ tdna=—=丄x Mg则｛仏=9： 164.从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解：在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直接找到运动的起点(这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”)，这给求平抛运动的初速度带来了很大的困难。

为此，我们可以运用竖直方向是自山落体的规律来进行分析。

［例4］某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知叫=吃=r H = X 兀=J 求S解析：A与B、B与C的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设A 到B、B到C的时间为T,则心=花乂竖直方向是自山落体运动，则Ay = = gT2代入已知量，联立可得5.从平抛运动的轨迹入手求解问题: ［例5］从拓为H的A点平抛一物体，其水平射程为加，在A 点正上方高为2H的B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为$。

两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的、\ 高 o乂解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们|换一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很° F E 容易，如图5所不，物体从A、B两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在》轴上的抛物线，即可设A、B两方程分别为y = 加+ —y = a^ +b^ + c'则把顶点坐标A (0, H)、B (0, 得方程组这个方程组的解的纵坐标，即为屏的高。

6.灵活分解求解平抛运动的最值问题［例6］如图所示，在倾角为&的斜面上以速度％水丫抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动,虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。

取沿斜面向下为X轴的正方向，垂直斜面向上为，轴的正方向,如图6所示，在丿轴上，小球做初速度为勺Sind、加速度W&的匀变速直线运动，所以有£ -(v0 sin 歼二-2gycos& 【尹二号丹2H)、E (2$, 0)、F (S, 0)分别代入可八一7 ="H4s22H----------------- —-I -D I I72 丨丨' 丨I I VI________ 丄_ _L_1_I I c卜&二 _gx$@当％ = °时，小球在y 轴上运动到最离点，即小球离开斜面的距离达到最大。

由①式可得小球离开斜面的最大距离汕卯 v 2gcos^ ^ = — tan 半◎ = U时，小球在》轴上运动到最烏点，它所用的时间就是小球从抛出 运动到离开斜面最大距离的时间o III®式可得小球运动的时间为 7. 利用平抛运动的推论求解：推论1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角 形。

［例1］从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大 初 速度方向相反，求球tan 目=空速度之间的夹角为cot 农=tan 0如图所示，ill 图可得和乂因为所以山以上各式可得，解得 推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形 ［例2］宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水半方向抛岀一个小球，经过时间「小球 落到星球表面，（2八宀（刖 测得抛出点与落地点之间的站G 、”，若抛出时初速度 增大到两倍，则 ,_ I 抛出点与落地点之间的距离为矩。

已知两落地点在同 一水平面上，该星 方二箱 球的半径为R,万有引力常数为G,求该星球的质量M 。

解析：设第一次抛出小球，小球的水平位移为X,1 2竖直位移为为，如图8所示,构建位移矢量直角三角形有： 一 2 g宀方2 =p若抛出时初速度增大到2倍，重新构建位移矢量直角三角形, 如图所示有由以上两式得令星球上重力加速度为列，由平抛运动的规律得小分别为F 和厂，经过多长时间两小 st a 二越90° ? vi◎ + ^ = 90°解析：设两小球抛空=竺出后90°,与竖直方向的夹讦一可角分 矢量直角三角形经过时间'，它们速度之间的夹角为 别为优和Q,对两小球分别构建速度山万有引力定律与牛顿笫二定律得山以上各式解得推论3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。