定理 4 . 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有
lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] = C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n = [ lim f ( x) ] n ( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
x → x0
lim Pn ( x) = Pn ( x0 ).
x → x0
例2. 设 n 次多项式 Pn ( x) = a0 + a1 x + + an x n , 试证
n a lim a x 证: lim Pn ( x) = 0 + a1 lim x + + n
= Pn ( x0 )
x → x0
x →1
1 1 lim = 0 , 函数 当 x → ∞ 时为无穷小; x→ ∞ x x 1 1 lim = 0 , 函数 当 x → −∞ 时为无穷小. x→ − ∞ 1 − x 1− x
定义1. 若 x → x0 (或 x → ∞ ) 时 , 函数 f ( x) → 0 , 则 则称函数 f ( x ) 为 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 . 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为
1 1 1 lim + + + = 1 n →∞ n n n
n
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 ∀ x ∈ ( x0 , δ 1 ) , u ( x ) ≤ M
0

又设 lim α ( x) = 0,即 ∀ ε > 0 , ∃δ 2 > 0 , 当 x ∈ ( x0 , δ 2 ) x→ x 时, 有 α ( x ) ≤ 取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 x ∈ ( x0 , δ ) 时 , 就有
定理6 . 若 lim xn = A , lim yn = B , 则有
n →∞ n →∞
(1) lim ( xn ± yn ) = A ± B
n →∞
(2) lim xn yn = AB
n →∞
xn A (3) 当 yn ≠ 0 且 B ≠ 0时, lim = n →∞ y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
作业 P28 10, 12
第四节 极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则
第一章
三、 复合函数的极限运算法则
一、 无穷小运算法则
说明: 若 lim f ( x) = ∞ , 则直线 x = x 0
x → x0
1 例 . 证明 lim =∞ x →1 x − 1
为曲线 y = f ( x) 的铅直渐近线 .
渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
1 为无穷小 ; 若 f ( x) 为无穷大, 则 f ( x) 1 为无穷大. 若 f ( x) 为无穷小, 且 f ( x) ≠ 0 , 则 f ( x) (自证)
ε =ε u ( x) α ( x) = u ( x) α ( x) ≤ M ⋅ M
ε M


lim u ( x) α ( x) = 0, 即 u ( x) α ( x) 是 x → x0 时的无穷小 . 故x →x
0
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 但无穷个无穷小的乘积未必是无穷小 .(参见P29的举例)
φ ( x) ≠ a , 又 lim f (u ) = A , 则有
u →a
x → x0
证: lim f (u ) = A
u →a
x → x0
lim f [φ ( x ) ] = lim f (u ) = A
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 lim α = 0 , lim β = 0 ,
x → x0 x → x0
∀ ε > 0 , ∃ δ 1 > 0 , 当 0 < x − x0 < δ 1 时 , 有 α < ε 2
∃δ 2 > 0, 当 0 < x − x0 < δ 2 时 , 有 β < ε 2
4 x 2 − 3x + 9 例6 . 求 lim 2 . x →∞ 5 x + 2 x − 1
解: x → ∞ 时, 分母 → ∞ , 分子 → ∞ . 分子分母同除以 x 2 , 则 原式 = lim “ 抓大头”
4 −31 +9 x 5+ 21 − x
x →∞
1 x2 1 x2
4 = 5
一般有如下结果：
x → x0
lim f C ( x) = 0
∀ ε > 0 , ∃δ > 0 ,
当 0 < x − ) − 0 < ε
显然 C 只能是 0 !
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x → x0
lim f ( x) = A
证: lim f ( x) = A
x → x0
π + nπ ) = 0 f ( 但 2
y
y = x cos x
所以
x → ∞ 时 , f ( x) 不是无穷大 !
o
x
1 1 证: 任给正数 M , 要使 > M , 即 x −1 < , M x −1 1 只要取 δ = , 则对满足 0 < x − 1 < δ 的一切 x , 有 M 1 y 1 >M y= x −1 x −1 1 = ∞. 所以 lim o 1 x x →1 x − 1
例5 . 求 lim
2x − 3 − 5x + 4
x →1 x 2
.
解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x 2 − 5 x + 4 12 − 5 ⋅1 + 4 = =0 lim 2 ⋅1 − 3 x→1 2x − 3
∴ lim
2x − 3 − 5x + 4
x→1 x 2
=∞
“ 无穷小的倒数 为无穷大”
P( x) 例3. 设有分式函数 R ( x) = , 其中 P( x) , Q ( x) 都是 Q( x) 多项式 , 若 Q( x0 ) ≠ 0 , 试证: lim R ( x) = R ( x0 ) .
x → x0
证:
P( x0 ) = = R( x0 ) lim R( x) = x → x0 lim Q ( x) Q ( x0 )
x → x0
定理 5 . 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 且 B≠0 , 则有
f ( x) lim f ( x) A lim = = g ( x) lim g ( x) B
证: 因 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 有
f ( x) = A + α , g ( x) = B + β , 其中α , β 为无穷小 f ( x) A A + α A 1 设 γ = − = − = ( Bα − Aβ ) g ( x) B B + β B B( B + β ) 无穷小 有界 f ( x) A γ = +γ 因此 为无穷小, g ( x) 1 B 1 2 lim f(( )) f (x ∈ xx = <) A = x 0 = 由极限与无穷小关系定 理 B+ β, 得 lim g ( x) B P44) lim g ( x) g ( x) B (详见
取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 0 < x − x0 < δ 时, 有
ε α+β ≤ α + β <ε + 2 2 =ε
因此
x → x0
lim (α + β ) = 0 .
这说明当 x → x0 时, α + β 为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，
由定理 1 可知 α ± β 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 .
推论: 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B, 且 f ( x ) ≥ g ( x), 则 A≥ B . 提示: 令 ϕ ( x) = f ( x ) − g ( x ) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
x → x0 x → x0
lim P( x)
说明: 若 Q( x0 ) = 0 , 不能直接用商的运算法则 .
( x − 3)( x − 1) x −1 x2 − 4x + 3 = lim = lim 例4. lim x →3 ( x − 3)( x + 3) x →3 x + 3 x →3 x2 − 9 2 1 = = x = 3 时分母为 0 ! 6 3
第三节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
第一章
一、 无穷小
定义1 . 若 x → x0 时 , 函数 f ( x) → 0 , 则称函数 f ( x) (或x → ∞) 为 x → x0 时的无穷小 . (或x → ∞) 例如 :