经典层合板理论
上式中的 Aij,Bij,Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度
由于耦合刚度 B i j 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：
N A B0
经典层合板理论
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因 此可以从每一层的积分号中提出：
Nx
Ny
N
Q Q1121
Nxy k1Q16
Q12 Q22 Q26
Q Q Q162666
zk zk1
xy00 x0y
dz
zk zk1
kx
ky zdz
kxy
Mx
My
N
Q11 Q12
Mxy k1Q16
A1 1 A1 2 0
A1 2 A22 0
0 0 A66
0 x
0 y
0 xy
M
x
M y
D11
D1
2
D12 D22
0 0
k k
x y
M
xy
0
0
D66
k
xy
对称层合板的刚度分析
（2）特殊正交各向异性层组成的对称层合板 这种层合板由材料主向与坐标轴一致的正交
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u
0
v0
y x
中面的曲率为：
k
x
ky
k
x
y
a
a
2w x2 2w y2
2w
2
x y
其中 k x y 为中面扭曲率
经典层合板理论
第 k 层应力为：
xy Q Q 1 12 1
Q 12 Q22
2
A,aaaaD66
1
2
D
aaaaaaA16 A26 0,aaaD16 D26 0
单层板的刚度
可得各向同性单层板的内力-应变关系：
Nx Ny
A
A
Nxy
0
A
A
0
0 0
1
A
0 x
0 y
0 xy
aaaA
Et
1
2
2
M
x
M y
D
D
M
xy
0
D
D
0
0 0
1
kx
ky aaaD
Q 1 1 Q 2 2 1 E 2 , Q 1 2 1 E 2 , Q 6 6 2 ( 1 E ) , Q 1 6 Q 2 6 0
设板厚为 t ，代入下式：
N
N
Aij (Qij)k(zk zk1) (Qij)ktk
k1
k1
Bij
12 kN1(Qij )k(zk2
2
D16
D12 D22 D26
D16 D26 D66
k k k
x y xy
对称层合板的刚度分析
（1）各向同性层组成的对称层合板 这种层合板的特点是板面内方向具有相同的力
学性质，当然不会发生拉剪耦合及弯扭耦合 这种层合板对应的内力-应变关系为：
N
N
N
x y xy
MB
Dk
式中的 0 为层合板的中面应变列阵，k 为曲 率列阵。上式即为用应变表示内力的一般层 合板的物理方程
经典层合板理论
对层合板的物理方程进行矩阵运算得到：
0 A BN
kBT DM AA1A1B(DBA1B)1BA1
式中：B(A1B)(DBA1B)1
D(DBA1B)1
经典层合板理论
上式中的子矩阵 A,B,D分别称为面内柔度矩 阵，耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵B 与矩阵 B T 是相互转置的，但未必对称
AAA162666xxy000yBBB111261
B12 B22 B26
BBB162666kkkxxyy
M M MxxyyBBB111261
B12 B22 B26
BBB162666xxy000yD D D111261
D12 D22 D26
D D D162666kkkxxyy
经典层合板理论
式中： N
各向同性材料有两个独立的弹性常数，各
方向的弹性性质相同。设弹性模量和泊松
比分别为：E ,
根据折减刚度 矩阵计算公式
Q
1
1
E1
1 12
21
Q
1
2
12 E 2 1 1 2 2 1
21E1 1 1 2 2 1
Q 22
E2
1 1 2 2 1
Q 66 G 12
单层板的刚度
将弹性模量和泊松比代入上式中可得：
Q12 Q22 Q26
Q Q Q162666
zk zk1
xy00 x0y
zdz
zk zk1
kx ky kxy
z2dz
经典层合板理论
注意到 x0,y0,x0y,kx,ky和 k x y 不是 z 的函数，而是中 面值，因此可以从求和记号中移出得到：
N N NxxyyAAA111261
A12 A22 A26
各向异性单层板组成 这种层合板可以消除 A16, A26 及 D16,D26 等刚度。
这样如果单层板的厚度，位置及其材料对称 于层合板的中面，则弯曲与拉伸之间无耦合 效应
对称层合板的刚度分析
这种层合板的第 k 层的刚度系数为：
(Q11)k
y
v y
v0 y
z
2w y2
xy
u y
v x
(u0 y
v0 ) 2z x
2w xy
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
x y
xy00
z
kx ky
xy
0 xy
kxy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0
层合板的表示方法
[03/902/45/-453]S
层合板的表示方法
一般层合板
[0/45/90/-45/0]
对称层合板 偶数层 奇数层
具有连续重复铺层 具有连续正负铺层
[0/90]S [0/45/90]S [02/90]S [0/±45/90]
有多个子层合板构成的层合板 [0/90]2
织物构成的层合板
A1 6 A26 A66
0 x
0 y
0 xy
M
M
M
x y xy
D11
D1
2
D16
D12 D22 D26
D16 D26 D66
k k k
x y xy
这种单层板也不发生拉弯耦合，但是发生拉剪
耦合和弯扭耦合。虽然刚度矩阵是满秩的，但
独立的拉伸刚度和弯曲刚度都仍然是4个
第三讲 层合板的刚度与强度
层合板
层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在 一起成为整体的结构元件
层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以 由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单 层板构成。
主要内容
层合板的表示方法 经典层合板理论 单层板的刚度 层合板的刚度分析 层合板的强度分析
层合板的几何标志
N
Aij (Qij)k(zk zk1) (Qij)ktk
k1
k1
Bij
12 kN1(Qij )k(zk2
zk21)
N
(Qij)ktkzk
k1
Dij
13kN1(Qij )k(zk3
zk31)
N
(Qij)k(tkzk2
k1
tk3 ) 12
其中 tkzkzk1 为第 k 层的厚度，z 是第 k 层中心的坐标值 zkzk 11 2(zk zk 1)1 2(zk zk 1)
Q 16 Q26
xy0 0 z kkxy
xy k Q 16 Q26 Q66k x0y kxy
虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但 由于层合板每层的 Q ij 可以不同，故应力变 化一般不是线性的
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx,Ny,Nxy 及合力矩 Mx,My,Mxy （都是指单位长度上的力或力矩）
D
kxy
Et3
12(1
2
)
2
显然，各向同性单层板无拉弯耦合效应
单层板的刚度
（2）特殊正交各向异性单层板 这种材料的自然坐标轴与材料主向一致，折
减刚度矩阵中元素的计算结果为：
Q111E11221,Q121 121E 22211 211E 2121 aQ221E12221,Q16Q260,Q66G12
因此对于对称层合板，耦合刚度矩阵为零
对称层合板的刚度分析
由于耦合刚度矩阵为零，可知对称层合板 的合力及合力矩为：
N
N
N
x y xy
A11 A12 A16
A12 A22 A26
A16 A26 A66
0 x
0 y
0 xy
M
M
M
x y xy
D11
D1
单层板的刚度
内力-应变关系为：
N N N
x y xy
A1 1 A1 2 0
A1 2 A22 0
0 0 A66
0 x
0 y
0 xy
M
x
M y
D11
D1
2
D12 D22
0 0
k k
x y
M
xy
0
0
D66
k
xy