2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L xx ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(5025.2*=-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

解：由题可知，21L x =+，()00x =，()1x 自由欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，L 0ft x∂=∂，0fT t L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为：()x t at b =+代入边界条件()f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =，0b = 将f t ，a ，b 代入J 可得()1*211J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t =2－8 设泛函dt t x x x x L J tft ),,,,(2..1201⎰=端点),,(02010t x x A 固定，端点)),(),((21t t x t x B f f 可沿空间曲线 )()(),()(21f f f f t t c t t c ψϕ== 移动。

试证：当泛函取极值时，横截条件为0)()([.2.2...1.=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-+∂∂-+tfx L x x L x L ψϕ证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由25P0)(...=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂--tfT x L x c L 可得， （1）由 c=[]Tψϕ,,Tx x x ),(2.1..=),()(.2..1...x x x c T--=-ψϕ,T x Lx LxL ),(..1.2∂∂∂∂=∂∂∴ .22..1.1.....)()()(x L x x L x xT x c T∂∂-+∂∂-=∂∂-ψϕ （2）将（2）代入（1）式，得：0)()(...22.1.1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂-+∂∂--tfx L x x L x L ψϕ,得证。

2-13 设系统状态方程12()()x t x t =，1(0)2x = 2()()x t u t =，2(0)1x =性能指标如下：201()2f t J u t dt =⎰ 要求达到()0f x t =，试求（1）5f t =时的最优控制*()u t 。

（2）f t 自由时的最优控制*()u t 。

解：由题可知构造H ：212212TH L f u x u λλλ=+=++ 正则方程：11212()0()H t x H t x λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=-⎪∂⎩可求得 11212()()t c t c t c λλ=⎧⎨=-+⎩控制方程：20Hu uλ∂=+=∂ 由上式可得 212()u t c t c λ=-=-由状态方程12()()x t x t =，2()()x t u t =可得32112342212311()621()2x t c t c t c t c x t c t c t c ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（1）5f t =时由边界条件1(0)2x =，2(0)1x =，1()0f x t =，2()0f x t =可得343212342123121155506215502c c c c c c c c c =⎧⎪=⎪⎪⎨*-*+*+=⎪⎪*-*+=⎪⎩ 得 123454125322512c c c c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ 故32122916()2125252732()112525x t t t t x t t t ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩有 25432()12525x t t =- 有最优控制*5432()12525u t t =- （2）若f t 自由由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件21221()()()()()()02f f f f f f fH t u t t x t t u t t ϕλλ∂=++=-=∂得0)(=f t u即2()0f t λ=，从而21f c c t =，代入32122121120621102f f f f f c t c t t c t c t ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩可得6f t =-因为时间总为正值，所以此题无解。

3-2 设二阶系统的状态方程),()()(),()(122.1t u t x t x t x t x +==••边界条件)2(,0)2(1)0(,1)0(2121====x x x x 试求下列性能指标的极小值：⎰+=2021)]()([21dt t u t x J解：由题可知构造H ：2112211()()2H L f x u x x u λλλ=+=++++ 由协态方程和极值条件：112121212[()]0H x u x H x Hx u uλλλλλ••∂⎧=-=-++⎪∂⎪∂⎪=-=-⎨∂⎪⎪∂=++=⎪∂⎩ 得11212c c t c λλ=⎧⎨=+⎩代入状态方程得：.12212()(),()()x t x t x t c t c ••⎧=⎪⎨⎪=+⎩ 即3211234221231212x c t c t c t c x c t c t c ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，代入初始条件解得：123433.511c c c c =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故3212217()12437()122x t t t t x t t t **⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，此时22221001[()()](3 3.5)0.30772J x t u t dt t dt *=+=-=⎰⎰ 3-4 给定一阶系统方程()()()x t x t u t =-+，(0)1x =控制约束为()1u t ≤，试求使下列性能指标：101[()()]2J x t u t dt =-⎰为极小值的最优控制*()u t 及相应的最优轨线*()x t 。

解：由题可知构造H ：1()()(1)()22u H x x u x u λλλ=-+-+=-+-哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求1()2u λ-极小。

且取其约束条件的边界值，即()1u t =时，使哈密顿函数H 达到最小值。

所以，最优控制应取*11,2()112u t λλ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩， 由协态方程 ()1Ht xλλ∂=-=-∂可得 ()1t t ce λ=- 由横截条件 (1)0λ=求得 1c e -=，于是有1()1t t e λ-=-显然，当()0.5s t λ=时，*()u t 产生切换，其中s t 为切换时间。

不难求得ln2s e t =，故最优控制为*1,0ln 2()1,ln 12e t u t e t ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩将*()u t 代入状态方程，得1,0ln 2()1,ln 12e x t x t e x t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩解得121,0ln 2()1,ln 12tt e c e t x t e c e t --⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩代入初始条件(0)1x =，可得 12c =，因而()21t x t e -=-，0ln2et ≤< 在上式中，令ln2e t =，可求出ln 12et ≤≤时()x t 的初始条件 ln 24(ln )2112ee x e e-=-=-从而求得22c e =-。

因而()(2)1t x t e e -=-+，ln12et ≤≤于是，最优轨线为21,0ln 2()(2)1,ln 12tt e e t x t e e e t --⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩将求得的*()u t 和*()x t 代入式J ，得最优性能指标1ln 1*200ln 211132[()()](2)[(2)]ln 0.4522222e t t e e J x t u t dt e dt e e dt e --=-=-++-=--≈⎰⎰⎰最优解曲线如下：3-5 控制系统111121222, (0)0,(1)1, (0),(1)1x u x x x x u x x ===⎧⎨=+=⎩，试求最优控制*1()u t ,*2()u t 以及最优轨线*1()x t 和*2()x t ,使性能指标()1221120()()()J x t u t u t dt =++⎰为极小值。

解：哈密尔顿函数为221121H x u u u x u λλ1212=++++(+)由协态方程：12122(1)0H x H x λλλ••∂⎧=-=-+⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩，解得11221(1)c t c c λλ=-++⎧⎨=⎩，由极值条件：1112222020H u u H u u λλ∂⎧=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩， 解得[]112211()(1)21()2u t c t c u t c ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由状态方程有1122111()(1)21()()2x t c t c x t x t c ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得 211233221231411()(1)42111()(1)()1242x t c t c t c x t c t c t c c t c ⎧=+-+⎪⎪⎨⎪=+-+-+⎪⎩， 代入初始值解得：12341200c c c c =-⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ ，故*1*2()11()2u t u t ⎧=⎪⎨=⎪⎩ *1*22()11()22x t t x t t t⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 此时1220171()24J t dt *⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰ …………………………………………………………………………………………………..3－6 已知二阶系统方程122()()()(),x t x t x t u t ••==12(0)0(0)0,x x ==12()2()2,f f x t x t ==式中f t t u ,1)(≤自由。