第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+.错.2. 如果20,A =则0A =.错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠ ⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n .错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n .5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形.7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB =正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB =二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵.2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵；(B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵；(C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵；(D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零；(C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C =(C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C =(D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）.(A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠；(B) 当m n >时，必有行列式0AB =(C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠；(D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =；(B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++. （C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) n A A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0n A =(B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A)1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A)若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA =(B)若A 是可逆矩阵，则必有AB BA =(C)若0A ≠，则从AB AC =可推出B C =(D)若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ）(A)ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E =14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A)若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵；(B)若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵； (C)若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A)A (B) 2A (C) 3A (D) 4A16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A) 1n jk ki k a A =∑ (B) 1n kj ki k a A =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ）(A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随(D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ )(A)**ACB⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(B)**A ACB B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C)**B ACA B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(D)**A B ACA B B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E=验证.19．已知46135,12246A B⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ）(A)A B+ (B)A B- (C)AB (D)AB BA-20．设,A B是两个m n⨯矩阵，C是n阶矩阵，那么（ D ）21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA=，那么B是一个（Ｃ）(A)对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A的逆矩阵与任意一个n阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且0A=，那么A的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（B）只有一个为零（C）至少有一个为零（D）可能有零，也可能没有零23．设1320A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A-=（ D ）(A)121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦（B）131136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C）131126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D）121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24．设111222333a b cA a b ca b c⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c bAP a c ba c b⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P=（ B ）(A)100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（B）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（D）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n≥阶矩阵1111a a aa a aA a a aa a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A的秩为1，则a必为（A ）(A)1 （B）-1 （C）11n-（D）11n-矩阵A的任意两行成比例.26. 设,A B为两个n阶矩阵,现有四个命题:①若,A B为等价矩阵,则,A B的行向量组等价;②若,A B的行列式相等,即||||,A B=则,A B为等价矩阵;③若0Ax=与0Bx=均只有零解,则,A B为等价矩阵;④若,A B为相似矩阵,则0Ax=与0Bx=解空间的维数相同.以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。

相似矩阵的秩相等。

齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。

三、填空题1．设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，有2A =，则11()2*3A A --=11*||2A A A A --==，111()33A A --=，因此11111311()2*34(1)32A A A A A A ------=-=-=-=-. 2．设,AB 为4阶方阵，且3A =，则1(3)A --= 1/27 , 21BA B -= 9 。

3．设A 是一个m n ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵，那么是()'AB 一个s m ⨯阶矩阵，它的第i 行第j 列元素为1njk ki k a b =∑.4.n 阶矩阵A 可逆A 非退化 ||0A ≠⇔ A 与单位矩阵等价 ⇔ A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积 .4.三阶对角矩阵000000a A b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 的伴随矩阵*A = 000000bc ac ab ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设123023003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -=16A .6．设0,1,2,i a i n ≠=，矩阵12100000000000n na a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为 111121100000000000n n a a a a -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 7．设,A B 都是可逆矩阵，矩阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 8．设121331,,342424A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则(2)B A C -=（ ）． 9．A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为 零 矩阵.10．设方阵111222333b x c A b x c b x c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111222333b y c B b y c b y c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且2,3A B =-=则行列式A B += 4 .11．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，已知,A a B b ==，则行列式00A B=ab mn )1(-.将A 的各列依次与B 的各列交换，共需要交换mn 次，化为0A B12．设A 为n 阶方阵，且0A ≠，则 在A 等价关系下的标准形为 n 阶 单位矩阵 .13. 设12221311A a-⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭（a为某常数），B为43⨯的非零矩阵，且0BA=，则矩阵B的秩为1 .由0BA=可得A的各列为齐次线性方程组0Bx=的解，A的前两列线性无关，因此0Bx=的基础解系至少有两个解，因此()1r B≤.又B为非零矩阵，因此()1r B≥.即() 1.r B=四、解答下列各题1．求解矩阵方程(1)25461321X-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)211113210432111X-⎛⎫-⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭⎪-⎝⎭;(3)142031 121101X⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(4)010100143 100001201 001010120X-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：（1）1254635462231321122108 X-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）12111132212104328/352/3111X--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎪-⎝⎭2．设033110123A⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭,2AB A B=+ ,求B解：(2)A E B A -=.0332002332110020110123002121A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22A E -=，因此2A E -可逆.3．.设1P AP -=Λ,其中1411P --⎛⎫= ⎪⎝⎭,1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭ ,求11A . 解：1,A P P -=Λ4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 证明：124A B B E -=-两边同左乘以A 得到24B AB A =-.因此有 (2)4A E B A -=.由A 可逆可得2A E -，且111(2).4A E BA ---= 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.证明：()R A r =，因此矩阵A 可以经过一系列行初等变换化为后n r -行全为零.也即存在初等矩阵11,,,m P P P ，使得21m P P P A 后n r -行全为零. 21m P P P P =,则PA 的后n r -行全为零.由矩阵乘法运算可得1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关. 证明：由,m n AB E <=可得()()m r AB r A m =≤≤，因此()r A m =.因此A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是0.AB BA +=证明：当B A +时幂等阵时，因此0.AB BA +=反之，当0.AB BA +=时有B A +是幂等矩阵.。