2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧2．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20B ．18C ．16D ．143．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-4．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C．2D6．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．88．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列BC ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列10．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是10311．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．63C ．3 D ．23312．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±B ．4C ．2±D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为130F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，、230F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，点P 是第一象限内双曲线上的点，且1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____． 14．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．15．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =_____.16．如图，在平面四边形中，，则_________三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC 中，5,cos 43B C π∠==． （1）求cos A 的值；（2）点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围． 18．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.19．（6分）在ABC 中，A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，已知2a =，23c =，1cos 2C =-. （1）求A ；（2）设M 为BC 中点，求AM 的长.20．（6分）如图，在直角AOB ∆中，2OA OB ==，AOC ∆通过AOB ∆以直线OA 为轴顺时针旋转120︒得到（120BOC ∠=︒）.点D 为斜边AB 上一点.点M 为线段BC 上一点，且433MB =.（1）证明：MO ⊥平面AOB ；（2）当直线MD 与平面AOB 所成的角取最大值时，求二面角B CD O --的正弦值. 21．（6分）已知ABC ∆是等腰直角三角形,,22ACB AC π∠==．,D E 分别为,AC AB 的中点,沿DE 将ADE ∆折起,得到如图所示的四棱锥1A BCDE -．(Ⅰ)求证：平面1A DC ⊥平面1A BC ．(Ⅱ)当三棱锥1C A BE -的体积取最大值时,求平面1A CD 与平面1A BE 所成角的正弦值． 22．（8分）已知数列{}n a 满足：()12311232222122nn n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+对一切n *∈N 成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n na a+⎧⋅⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S.23．（8分）在边长为6cm的正方形ABCD，E F、分别为BC CD、的中点，M N、分别为AB CF、的中点，现沿AE AF EF、、折叠，使B C D、、三点重合，构成一个三棱锥.（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（2）求多面体E AFMN-的体积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A【解析】【分析】分别判断命题p和q的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题p，由于()sin sinx xπ+=-，所以命题p为真命题.对于命题q，由于0a>，由0a xa x+>-解得a x a-<<，且()()1ln ln lna x a x a xf x f xa x a x a x--++⎛⎫-===-=-⎪+--⎝⎭，所以()f x是奇函数，故q为真命题.所以p q∧为真命题. ()()p q⌝∨⌝、()p q∧⌝、()p q⌝∧都是假命题.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 2．A【解析】【分析】设等差数列{}n a的公差为d,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a+即可. 【详解】设等差数列{}n a的公差为d.由51077,aa a=⎧⎨+=⎩得11147,960a da d a d+=⎧⎨+++=⎩,解得115,2ad=⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d+=+=⨯+⨯-=.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.3．B【解析】【分析】【详解】解：当直线2x y z-=过点()0,1A-时，z最大，故选B4．A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．5．A【解析】【分析】设2(,),(,)2yP y M x yp，因为PM MF=，得到200,442y ypx yp=+=，利用直线的斜率公式，得到020002244OM y k y p y p y pp==++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点坐标为(,0)2pF ， 设200(,),(,)2y P y M x y p， 因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=， 所以直线OM的斜率020022144OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当0y p y p=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 6．C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 7．B【解析】 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦.*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝.662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，…….∴6n n b b +＝.故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝. 故选：B. 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 8．B 【解析】 【分析】构造长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m ，n 即可进行判断． 【详解】如图，取长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，直线AD =直线l 。