h
A
B
C
d
a
b
图 2.11 人跑步时跨越一步过程中重心的运动轨迹
模型假设：1）跑步是匀速运动，速度为 v ； 2）人体总质量为 M ，腿的质量为 m ，人体的一维长度为 L （身高或腿长）；
3）图 2.11 中， d h = a b ， a 正比于 L ，且跨步系数 j 为常数。

模型建立：跑步所消耗的势能
1
-
s2 4l 2
W1 = Mgd
消耗动能
W2
=
1 2
mv2
注意到 v = ns ，因此人走路每秒消耗的总能量为
W
=
n(W1
+ W2 )
=
v s
ææ
ç çè
Mg
ççè
l
-l
1-
s2 4l 2
ö ÷÷ø +
1 2
mv2
ö ÷ ÷ø
问题即为求最优行走步数使W 最小。
（1）
模型求解：先简化模型（1）。当步长 s 不太长时，比如 s l < 1 2 ，用泰勒展开处理
1- s2 ，有 4l 2
于是
1- s2 »1- s2
4l 2
8l 2
W » Mgvs + mv3 8l 2s
（2）
令 dW = 0 ，得 s* » 2v ml 。因此，最优步数为
ds
Mg
n*
=
v s*
»
1 2
Mg ml
模型检验：假设人腿长为 1 米，腿的质量占体重的1 4 ，则由上式计算得 n* » 3 ，
4 如果将人行走看作腿绕腰部的转动，最优步数怎样？ （此题可参考下面的例）
5 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数 k ，销售速率为常数 r ， k > r ；在每个生产周期 T 内，开始的一段时间 (0 < t < T0 ) 一边生产一边销售，后来的一
段时间(T0 < t < T )只销售不生产，画出贮存量 q(t) 的图形。设每次生产准备费为 c1 ，单
3）人体总质量为 M （千克），集中在人体重心处； 4）腿的质量为 m （千克），腿长为 l （米），腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线
运动； 模型建立：将人体行走重心的变化简化为图 2.10。
ql
图 2.10 人行走时重心的变化
由图 2.10，每走一步重心升高
于是消耗势能
d = l - l cosq = l - l
功。走路时间越长、距离越远，消耗的能量自然越多，所以应考虑每单位时间所消耗的能量。 另外，人走路时身体重心在不断变化，且行走速度主要体现在腿的运动速度，因此人走路所 做的功包括抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能两部分。
模型假设：1）人匀速行走，速度为 v （米/秒）； 2）人行走步长为 s （米），每秒行走 n 步；
图 管道包扎示意图
3.崖高估算。假如你站在崖顶，身上只带了一支具有跑表功能的计算器，你也许会出于 好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计出山崖的高度。
1）假定你能准确地测定石块下落时间，请推算山崖的高度。 2）通常是听到回声再按跑表，因此测定的时间中还包含了人的反应时间，反应时间虽 然不长，但由于石块落地前的速度已经变得很大，对计算结果的影响仍会较大。考虑这一问 题给出新的推算结果。 3）所测定的石块下落时间还包括了声音从崖底传回来所需要的时间，即回声时间，考 虑回声时间再继续讨论问题。
2
而完成一大步所需要的时间是T = a + b ，因此单位时间消耗的总能量为 v
W = W = Mg 2b Mg + mv3
T 8v
2(a + b)
（3）
由假设 3），可设 M = k1L3, m = k2L3 , a = k3L ，于是单位时间消耗的总能量化为
W
=
k4
L4 v
+
k5
v3 L2 1+ j
1.球队比赛。现有 37 支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者 及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需要进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。如 果是 n 支球队比赛呢？
2.管道包扎。水管或煤气管道经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎是用很 长的带子缠绕在管道外部，如图所示。为节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道 而且所用带子最节省？
（4）
令 dW = 0 ，得 dj
(1 +
j)2
=
k5v4 k4 L2
µ
v4 L2
显然，由于各人身体条件的不同，每个人跑步时选择的跨步步长也不同，但却可以 通过上式选择跨步系数来节省能量。一般来说，身材高的、腿长的，跨步系数小；速度越快， 跨步系数越大。
即每秒走 3 步较好。 2. 跑步模型
试建立模型讨论在做功最小的准则下怎样跑步才能更节省能量。 问题分析：跑步与走路不同，每跑一步都包含两个过程：双腿同时离地和一条腿或两条 腿同时落地。于是，人跑步过程中跨越一步时重心的运动轨迹可简化为图 2.11 所示的曲线，
其中一步长 a + b ， b a = j 称为跨步系数。
W1 = (d + h)Mg
及消耗的动能
W2
=
1 2
mv2
由图 2.11，人体重心离开 B 点上升到最高点的时间为 t = b ，因此上升高度为 2v
h
=
1 2
gt 2
=
gb2 8v2
于是，跑步消耗的总能量
W = (d + h)Mg + 1 mv2 = a + b gb2 Mg + 1 mv2
2
b 8v2
位时间每件产品贮存费为 c2 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论 k >> r 和 k » r
的情况。
例 走路与跑步模型 人在行走或跑动时要消耗一定的能量，怎样让能量消耗更少呢？ 下面分别建立数学模型予以讨论。
1. 走路模型 试建立模型讨论在做功最小的准则下每秒走几步最合适。 问题分析：走路之所以消耗能量，主要是因为要克服身体重力做功和为获得行走速度做