.第八章 多元函数微分法及其应用第 一 节 作 业一、填空题：.sin lim .4.)](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos),,(.21)1ln(.102222322====-=+=+++-+-=→→x xyx x f x x x x y x y x f yx z z y x f y x x y x z ay x ψϕψϕ则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选）： 1. 函数yx sin sin 1的所有间断点是:(A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)；(D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。

答：（ ）2. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222222y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：（A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。

答：（ ）.三、求.42lim0xy xy ay x +-→→四、证明极限2222200)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。

第 二 节 作 业一、填空题：.)1,(,arcsin)1(),(.2.)1,0(,0,0),sin(1),(.122=-+==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x f yxy x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设二、选择题（单选）：.42)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2)(:,2222222y x y x y x y y x y D ey x y C y y x B y A z z ++++⋅+⋅+⋅⋅=等于则设答：（ ）三、试解下列各题：.,arctan .2.,,tan ln .12yx zx y z yz x z y x z ∂∂∂=∂∂∂∂=求设求设四、验证.2222222222r zr y r x r z y x r =∂∂+∂∂+∂∂++=满足第 三 节 作 业一、填空题：.,.2.2.0,1.0,1,2.1====∆-=∆=∆===dz e z dz z y x y x xyz xy 则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选）：1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。

答：（ ）2. f(x,y)在(x 0,y 0)处两个偏导数f x (x 0,y 0),f y (x 0,y 0)存在是f(x,y)在该点连续的：（A ）充分必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充分非必要条件； （D ）既非充分亦非必要条件。

答：（ ）三、试解下列各题：.,arccos.4.2,1)1ln(.3.,.2.,.12222dz yx x z y x y x z du x u dz yxxy z yz 求设时的全微分当求函数求设求设+===++==+=四、证明：xy x f =),(在点（0,0）处的偏导数存在，但在点(0,0)处不可微。

第 四 节 作 业一、填空题：.,,sin ,.132====-dtdz t y t x e z y x 则而设.,),,(.3.,23,,ln .22=-+==∂∂-===dz f y x y x f z xz y x v y x u v u z 则可微设则而设二、选择题（单选）：).ln()(2)();ln()()(2)(;)(2)()];ln())(()([2)(:,,)(.11122y x y x D y x y x y x C y x z B y x y x y x y x z A u u y x z y x u z z z z z y x z ---+----++-++=-=+-等于则而设答：（ ）.3ln )]('[[3)(')()];('[3ln 3)(;3ln )]('[3)(;3ln )]('[3)(:,)(,3.2y yf x z y f z D y yf x C y yf x B y xf y A dydzf y f x z xy y x xyxy xy xy +-++++==等于则可导且而设答：（ ）.)(;)(;)(;)(,),(.3"22"21'2"22"21"22'2"12"12"12"11'22xzf xf f D xzf xf C xzf xf xf B xf zf xf f A zx xz y x f u ++++++++=∂∂∂+=则有二阶连续偏导数设答：（ ） 三、试解下列各题：1. 设.,),arctan(dxdz e y xy z x求而==2. 求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）：,)1(2).(,).,()2(2xyz fu xy=-=xxyxfuey3. .,),,(2yx zf y x x f x ∂∂∂=求具有二阶连续偏导数设4. 设z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy,其中f 具有连续偏导数，求全微分dz 。

.0:,,,,),,(.522=∂∂-∂∂-===yz x x z yv u u v y u x f y x f z 量交换方程为新的自变试以而具有连续的一阶偏导数且设四、设.11:,)(,)(222y zy z y x z x u f y x f y z =∂∂+∂∂-=验证为可导函数其中第 五 节 作 业一、填空题： 1. .,arctan ln22==+dxdyx y y x 则设..,),(),(.5.)1,0,1(),(2.4.,0arctan ),(.3.,010442),(.22222222=∂∂⎩⎨⎧=+=-==-==+++=∂∂∂=+-==∂∂=--+-++=u xxu v y yv u x v u y v u x x dz y x z z z y x xyz y x zy y xz y x z z xz z y x z y x y x z z 则所确定由方程组和设函数处的全微分在点所确定的函数由方程则所确定由方程设则所确定由方程设二、选择题（单选）：.)1()1()(;1)(;)1()(;)1()1()(:,),(.1y x xz y D yyz C y x yB y x x y A xy e xyz z x y y y x ------∂∂==+是则所确定由方程函数答：（ ）.0)(;1)(;21)(;21)(,cos ,tan ,.20D C B A dt dzt y t xe e z y x t x x -====-+=则已知答：（ ） 三、试解下列各题：..,3.2.,ln .1233yx z a xyz z yz x z y z z x ∂∂∂=-∂∂∂∂=求设及求设3. 设.,,sin ,cos yz x z uv z v e y v e x uu∂∂∂∂===和试求四、设Φ(u,v)具有连续偏导数，证明由方程Φ（cx-az,cy-bz ）=0所确定的函数 z=f(x,y)满足.c yz b x z a =∂∂+∂∂第 六 节 作 业一、填空题：.),,()),()()(,(),(.2.sin 02,sin ,cos .1000程是处的切线方上点皆可微和其中曲线轴夹角的正弦点处的切线与在相应于曲线z y x y x g x f y x g z x f y oz t e z t e y t e x t t t =======γ二、选择题（单选）：.32)(;3)(;43)(;4)(:,)1,1,2(02.1ππππD C B A oyoz z y x xyz 轴正向所夹角为则此切向量与轴正向成锐角点处的一个切向量与上曲线⎩⎨⎧=--=答：（ ）.93)(;33)(;73)(;53)(:)2,2,1(12.232=+-=++-=+--=++-=+z y x D z y x C z y x B z y x A z xy 处的切平面方程是上点曲面答：（ ） 3. 曲线2x=y 2,z=x 2在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等，与这一点相应的x 值 等于：.2)(;31)(;21)(;1)(D C B A答：（ ）三、试解下列各题：.)5,4,3(50.3.0212.2.)22,1,12(2sin 4,cos 1,sin .1222222222点处的切线方程在求曲线的切平面方程上平行于平面求椭球面方程的切线方程及法平面在点求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-=++-=-=-=zy x z y x z y x z y x t z t y t t x π四、试证曲面各坐标轴上上任何点处的切平面在)0(>=++a a z y x 的截距之和等于a.第 七 节 作 业一、填空题：1. 函数z=x 2+y 2在点(1,2)处沿从点(1,2)到点)32,2(+的方向导数等于 。

2. 数量场f(x,yz)=x+2y+3z 在(-1,2,0)点处的梯度是 。

3. 设f(x,y)=x 2-xy+y 2，则f(x,y)在点(1,1)变化率最大方向上的单位向量为 。

二、选择题（单选）：.31)(;31)(;51)(;51)(:22)1,11(32--++=--=D C B A k j i I yz xyz y 的方向导数等于沿在点函数ρρρρ 答：（ ） 三、试解下列各题：.1)2,2()(1.122222222方向导数在这点的内法线方向的处沿曲线在点求函数=++-=b y a x b a b y a x z2. 求函数u=xyz 在点M(1,1,1)沿从点(1,1,1)到点(2,5,3)的方向的方向导数。

3. 设f(x,y,z)=x2=2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求gradf(1,1,1)...86,)1,1,1(632.422222的方向导数处沿方向在点求函数处的指向外侧的法向量在点是曲面设n P zy x u P z y x n ρρ+==++四、设u,v 都是x,y,z 的函数，u,v 的各偏导数存在且连续， 证明：grad(uv)=vgradu+ugradv.第 八 节 作 业一、填空题：1. 函数f(x,y)=4(x-y)-x 2-y 2的极大值为 。

2. 设函数z=z(x,y)由方程x 2+2y 2+3z 2+xy-z-9=0所确定，则函数z 的驻点为 。