三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示 题型 1 已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为 y ＝A sin( ω x ＋φ)或y ＝A cos( ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根 据y ＝ sin x ，y ＝ cos x 的整体性质求解。
一、函数的奇偶性例1 f (x )＝sin (x )(0≤ < )是R 上的偶函数，则等于( )B ．C ．D ．42A 充分不必要条件B ．必要不充分条C ．充要条件变式 3.设f (x) sin( x )，其中 0，则 f (x)是偶函数的充要条件是( )A. f (0) 1 B ． f (0) 0 C ． f '(0) 1 D ． f '(0) 0例2.设f (x) sin(2 x )(x R)，则 f(x)是( )2A. 最小正周期为 的奇函数 B ． 最小正周期为 的偶函数 C ．最小正周期为 的奇函数 D ． 最小正周期为 的偶函数22结论： (1) 若y Asin( x )是奇函数，则k (k Z);(2) 若 y Asin( x )是偶函数，则 k + (k2 Z); (3) 若 y Acos(x)是奇函数，则k2(kZ);(4) 若 y Acos( x)是偶函数，则k (k Z);(5) 若 y A tan(x )是奇函数，则 k2 (k Z).变式 1.已知 a R ， 函数 f (x) sin x | a | 为奇函数，则 a 等于B ． 1C ．1 D ． 1【评注】由 y sin x 是奇函数， y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要变式 2.设 R ，则 “ 0”是“f(x) cos(x )(xR)为偶函数 ” 的( )D ．无关条件若函数 y Asin( x )(A 0, 0)则变式1.若f(x) sin 2 x 1(x R)，则f (x)是( )A. 最小正周期为 的奇函数 B ． 最小正周期为 的偶函数二、函数的周期性A. B ． C ． 2 D24评注】关于三角函数周期的几个重要结论：(1) 函数 y Asin( x ) b, y Acos( x ) 的周期分别为 |2 |,|2三、函数的单调性例 4.函数y sin( 2x)(x6A. [0, ] B ．[ ,7 ]3 12 12【评注】求三角函数的单调区间：[3,56 ] D ．[56C ． 最小正周期为 2 的奇函数D ． 最小正周期为 2 的偶函数变式2.下列函数中，既在 (0, 2)递增，又是以 为周期的偶函数的是 ( )A. y cos2x B ．y |sin2x| C ．y |cos2x| D ． y|sin x|例3.函数 y sin(2 x)cos(2 x)的最小正周期为 ( )66(2) 函数 y | Asin( x ) |, y | Acos( x )|,y | Atan( x ) | 的周期均为 (3) 函数 y | A sin( x b |(b 0), y | A cos( x ) b |(b 0)的周期均为 ||2||变式1.函数y sin(2 x 6) cos(2 x )的最小正周期和最大值分别为 ( ) A. ,1 B． 2 ,1 D ． 2 , 2 变式 2. 若f(x) sin x(sin x cosx),则f ( x)的最小正周期是变式 3. 若f(x) sin3x |sin3x|则f(x)是( ) A. 最小正周期为 的周期函数 3 B ． 最小正周期为 2的周期函数 3C ． 最小正周期为 2 的周期函数D ． 非周期函数b, y A tan([0, ])的递增区间是 ( )(1) 函数的递增区间由 2k (2) 函数的递减区间由 2k (3) 若函数 y 则 y Asin( (4) 对于函数 2 )中 A A sin( x Acos( x ) 和 y 0,0， 2k (k2 3 2k (k2可将函数变为 Z ) 决定；Z ) 决定； x )的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间； A tan( x ) 单调性的讨论同上。
y A sin( x ) 变式1.函数y sinx f (x)在[ 4 3 3] 内单调递增，则 f ( x)可以是 ( ) 4 A.1 B ． cosx C ． sinx cosx 变式 2. 若f(x) sin( x 4)(A. [1,5] B ． [1,3] A. [2,4] B ．[2,4] 0)在 ( ,21 (0,21] D) 上单调递增，则 的取值范围是(． (0, 2]变式3.已知函数 f (x) 3sinx cos( x3) cos( x 3)( 0)(1)求f ( x)的值域；(2) 若f (x)的最小正周期为,x [0, ]，f (x)的单调递减区间 .四、函数的对称性(对称轴、对称中心)例 5. 函数 y sin(2 x)图象的对称轴方程可能是 ( )A.x B ． x C ． x D ． x6 12 6 12【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：变式1.已知函数 y sin( x 3)(0)的最小正周期为 ，则f (x)的图象 ( )A. 关于点 ( ,0) 对称3B ． 关于直线 x 对称4C ．关于点 ( ,0)对称4 D ． 关于直线 x 对称3变式 2.函数 y sin(x )的图象的一个对称中心是 ( )A. ( ,0) B ． ( 333,0) C ． (3 ,0) D ． 44 (2,0)2x 2x变式3.函数f (x) sin 2x cos 2x 的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是 ________________ .55变式4.若函数y sinx 3 cosx 的图象向右平移 a 个单位( a 0)后的图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是 ( )A. 7 B ． C ． D ． 6263五、三角函数性质的综合思路提示】三角函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，对称性尤为重要；(1) 函数 y sin x 的对称轴为 x k (k Z ), 对称中心2(k ,0)( k Z );(2) 函数ycos x 的对称轴为 x k(k Z), 对称中心 (k2 ,0)( k Z );(3) 函数 ytan x 无对称轴，对称中心 k( , 0)( k Z );对称中心的求法 : 令 xk (kZ )得 x = kkx k (k Z),得x= 2 (k Z);2k(k Z ), 对称中心为 ( ,b)(k Z)；(5) 函数 y Acos( x) b 的对称轴的求法：令kx k (k Z ), 得 x= (k Z );对称中心的求法 : 令 xk 2 (k Z )得kx= 2 (k Z), 对称中心为2,b)(k Z )2(4) 函数 y Asin( x) b 的对称轴的求法：令1)对称性 奇偶性：若函数 f ( x)的图象关于 y 轴对称，则 f (x)是偶函数；若函数 f ( x)的图象关于原点对称，则 f (x)是奇函数；相邻的对称中心与对称轴之间的距离为 ；4(3) 对称性 单调性：在相邻的对称轴之间，函数f (x)单调；特殊的，若 f(x) Asin( x),A 0， 0函数f ( x)在[ 1, 2]上单调 ，且0 [ 1, 2]设 max{| 1 |, 2} ，则 T 。
4例6.设f (x) asin2x b cos2x, ab 0,若f(x) f( ) 对任x R 成立,则11 7(1)f( ) 0;(2) f( ) f( );(3) f (x)不具奇偶性；12 10 52(4) f (x)的单调递增区间是 [k, k 2 ](k Z)；63(5) ________________________________________存在经过点 (a,b)的直线与函数 f (x)的图象不相交 . 以上结论中正确的是 _____________ .例7.已知函数f (x) 4cos( x )sin x cos(2 x )( 0)63 (1)求f (x)的值域；(2)若f ( x)在区间 [ 3, ]为增函数，求 的最大值 .(2) 对称性 周期性：相邻两条对称轴之间的距离为T；相邻两个对称中心的距离为 T ； 222的取值范围.变式1.已知函数 f (x) 2sin x( 0),若f (x)在［ , ］上递增，求43题型 2 根据条件确定解析式 方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。
思路提示】由图象求得 y ＝A sin （ ω x ＋φ） （ A >0，ω>0）的解析式一般不唯一，只有限定 φ 的取值范围，才能得到唯一解。
依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点例8.若f (x) sin( x 3)(0),f(6)f （ ）且在 （ , ）上有最小值无最大值，则即图象上升时即图象上升时与横轴的交点）为与横轴的交点）为 x 0 ，第二点（即图象最高点）为 x，第三点（ 即图象下降时与横轴的交点）为 x，第四点（即图象最低点）为3，第五点 2例9.函数f (x) Asin(2 x )(A, R ）部分图象如下图所示，则 f （0） （ ）例10.已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0,| | )部分图象如下图所示，求0)部分图象如下图所示，则 f(0)变式2.f (x) Acos( x )部分图象如下图所示，f(2)23, 则f(0)f ( x)的解析式。
2C20,数 f （x ）的图象如图所示（图象经过点（ 1,0 ）），求变式 1. 已知 f (x) cos 2( x ) (为常数），如果存在正整数和实数 使得函的值.方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)求函数解析式。
3例11.已知函数 f (x) sin( x )( 0,0)为 R 上的偶函数，点 ( ,0) 是其一对称中心，4且函数在 [0, ]上单调，求函数 f (x)的解析式。
且经过点 (0,2) ，求函数 f (x)的解析式。
变式 1.已知函数 f ( x) 4sin( x )( 0,0 )图象的相邻两条对称轴的距离为 ，23题型3：函数的值域（最值）【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、化归为余弦函数的有界性，般是通过三角变换下列基本类型处理：(1)y asinx b at b,sin x t[1,1];(2)y asinx bcosx c a 2 b 2 sin(x ) c,tan (3)y 2 asin x bsinx c at 2 bt c,sin x t [ 1,1];ba at 2 bt y acos 2 x bsinx c y acos2x bsinx c 2 2at 2 bt (4)y a cosxsin x b(sin x cosx) y acosx sin x b(sin x cosx) c (a c),sin x t [ 1,1]; (a c),sin x t [ 1,1]; t 2 1c a bt (a c),sin x cosx t [ 2, 2]; a 1 t bt (a c),sin x cosx t [ 2, 2]; (5)y asinx b 与y asinx b根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可 csin x d ccosx d 用不等 式法求最值，更可用数形结合法求最值， 但都必须要注意 sin x 、cosx 的范围。