特殊行列式及行列式计算方法总结一、 几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,1100000000000000(1)n n n n n n n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L LL L MM M M M M M M M NL LLL 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D =L LM M M M M M L L L分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。

解法一：定义法(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-=解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。

2001(20011)2001120011200002001000100200(1)(1)(1)2001!2001!019990002000000D ⨯---=-=--=L LL M M M M MML L解法三：分块法0001000200019990002000000002001D =L LM M M M M M L L L利用分块行列式的结果可以得到2000(2000-1)200010020=2001=2001(-1)2000!=200101999002000000D ⋅⋅L L MMM M M L L！ 解法四：降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。

2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例21111111111111111a a D b b+-=+-分析：该行列式的特点是1很多，可以通过12r r -和34r r -来将行列式中的很多1化成0. 解：214143220011001100111111110110000110011111111110111100011001100r r r r r r a a a a a D ababb b b b ba aba b b------===----==-例33223111111322322222232233333333223444444a ab a b b a a b a b b D a a b a b b a a b a b b = ，(0)i a ≠ 分析：该类行列式特点是每行a 的次数递减，b 的次数增加。

特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将D 化成范德蒙行列式。

解：2311111123222222333312342333333323444444333331241234123433331234141()()()1()()()1()()()1()()()(,,,)()ji j i ij b bb a a a b b b a a a D a a a a b b b a a a b b b a a a b b b b a a a a V a a a a b b a a a a a a ≤<≤=⋅=⋅=⋅-∏练习：（11-12年 IT 专业期末考试题）若实数z y x ,,各不相等，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222111z y x z y x M 的行列式=M __________ 3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 例400000000000n a b a b D a b ba=L L L L L L分析：该行列式特点是a 处于主对角线，b 在a 后的一个位置，最后一行中b 是第一个元素，a 是最后一个元素。

解：按第一列展开：1111111000000(1)(1)000000(1)(1)n n n n n n n na b b a b ab D a ba b aba a ab b a b ++-+-+=⋅-+-⋅=⋅+-⋅=+-L LL L OO L L练习：（11-12年期中考试题）xyy x x y x y x D n 00000000000000ΛΛΛΛΛΛΛ=4. 行（列）和相等的行列式 例5n a b b b a bD b b a=L L M M M ML分析：该行列式的特点是主对角线上元素为a ，其余位置上都是b 。

可将第2,3，…，n 列加到第1列上。

（类似题型：教材P12例8，P27 8(2)） 解：111110[(1)][(1)]110[(1)]()n n b b b b a b a b D a n b a n b b a a ba nb a b --=+-⋅=+-⋅-=+--L L L L M M M M M M M M L L 5. 箭头形（爪行）行列式 例601111200130100D n=L L L L L L分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0，其余位置都为0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。

解：分别从第2,3,…,n 列提出因子2,3，…，n ，然后将第2,3,…,n 列分别乘以-1，再加到第1列上。

注：爪形行列式非常重要，很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进行计算！ 练习：1) 教材习题P28: 8(6) 2) （11-12年期末考试题）23(1)2000300010000n a n n a a A n a na-----=-L L L L L L L3) （11-12年IT 期末考试题）nxn x xxa a a a x D n n n 00100002000011211ΛΛM M M M M ΛΛΛ-=-+例7123123123123n n n nx a a a a x a a D a a x a a a a x =L L L L L L分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同。

解：1231122113311312112233112221221122000001100()()()101010011()()()01001(n n nn n nn n ni n i i in nn n i i x a a a a x x a D a x x a a x x a a a x a x a x a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a x a x a x a x a =--=---------=-⋅----+---=-⋅--=-∑L L L L LLL L L L M M M M M LL L L M M M M L 11)[1]n nii i i ia x a ==+-∑∏6. 递推法或数学归纳法该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材P15例11就是递推法的经典例题。

利用同样的方法可以计算教材P27 8(4)。

7. 升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算。

例8 （教材P28 8(6)）121+1111+1=111+n na a D a LL M M M M L , (0)i a ≠分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。

因为行列式中有很多1，因此可以增加一行1，使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。

注意：行列式是方形的，因此在增加一行以后还要增加一列，以保持行列式的形状。

为了使行列式的值不改变，因此增加的列为1,0,0, 0例9 （教材P27 6(4)）222244441111=a b c d D abcda b c d分析：此行列式可以应用性质6将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计算。

解法一：2433221213122222222222222222111100()()()0()()()111=()()()()()()100()()()()()()()(r a r r ar r ar c c c c b a c a d a D b b a c c a d d a b b a c c a d d a b a c a d a b cdb b ac c ad d a b a c a d a bc bd bb b ac c a b b ad d a b --------=---------+++=-----++-++-按第一列展开2222)()()()()()()()()()()()()()()b ac bd b b a c a d a c c a b b a d d a b b a a b a c a d b c b d c d a b c d +--=---+-++-+=------+++按第一行展开解法二：25322224444333341111()()()()()()()()()()1a b c d D a b c d a b c d x a x b x c x d b a c a d a c x x a b c d d x b x b d c ==----------3x 的系数是D -，因此D 等于3x 的系数的相反数，由此可计算得到结果。