∗
(1.6)
2 2 2 2 上式两边取模长, 得到 ( ds ds ) = ± √ 两边再对 s 求导, 即得 N∗ ∥ N.
1 µ2 + λ2
(µT + τB).
(1.7)
9. 求满足条件 τ = ck (c 为非零常数, k > 0) 的曲线 x( s). 解：当 c = 0 时, τ = 0, 此时曲线为平面曲线. c 0 时, 由 Frenet 公式可知 ′ T = kN ′ N = −k T +ckB B′ = −ckN ∫s 引入参数 t( s) = 0 k(σ)dσ 后, 上述方程组化为 dT = N ddt N +cB dt = −T dB = −c N dt 3
证明： ds1 = k( s)N, ds ds2 T2 = −k( s)T + τ( s)B, ds ds3 T3 = −τ( s)N. ds T1 两边分别求模长即可得证. 12. 证明: 曲线 C 的切线的球面标线为(部分)大圆的充要条件是 C 为平面曲 线; 曲线的主法线的球面标线永远不为常值曲线. 证明： 设 C : x( s) 是弧长参数曲线, T 是其切线. 如果 C 是平面曲线, 则 (x( s) − x(0)) · n0 = 0. 两边对 s 求导得到 T · n0 = 0, 也就是说 T 是平面曲线. 反之, 如果 C ∗ : T( s) 为大圆, 则对应的曲率和挠率分别为 k∗ = 1, τ∗ = 0. 运用第 2 题结论计算 k∗ , 得到 τ( s) = 0. N = 0, 则 −kT + τB = 0, k = τ = 0, 矛盾. 如果 dds
˙, g = x × x ˙. 证明： 令 e = x, f = x 5. 设 x( s) = ( x1 ( s), x2 ( s)) 是平面上以弧长为参数的曲线, {T( s), N( s)} 是它 的 Frenet 标架, 证明: N( s) = (− x ˙2 ( s), x ˙1 ( s)), ¨ ( s) = kr ( s)(− x x ˙2 ( s), x ˙1 ( s)).
《整体微分几何初步》习题答案
1
§0.1 E 3 中 的 曲 线
1. 求下列曲线的弧长, 并写出弧长为参数的方程: (1) 双曲螺线 x = (a cosh t, a sinh t, bt); t , 0); (2) 悬链面 x = (t, a cosh a (3) 曳物线 x = (a cos t, a ln(sec t + tan t) − a sin t, 0). ∫t √ 解：(1) s(t) = 0 a2 cosh 2t + b2 dt; t ; (2) s(t) = a sinh a (3) s(t) = a ln sec t. 2. 证明一般参数下曲线 x(t) 的曲率和挠率的计算公式是: (x′ , x′′ , x′′′ ) |x′ × x′′ | ; τ ( t ) = . k(t) = |x′ |3 |x′ × x′′ |2
所以 λ( s)k( s) = 0. 如果 λ = 0, 则 C 和 C ∗ 为同一条曲线. 如果 k = 0, 则 C 为直 线. (2) 已知圆柱螺线的曲率和挠率为常数. 则根据曲线论基本定理可知, 除 一运动外, k 与τ 唯一地决定了曲线. 7. 设两曲线可建立 1-1 对应, 使它们在对应点有相同的主法线, 则称它们 为 Bertrand 曲 线, 其中一条称为另一条的侣 侣 线. 证明: 它们在对应点的距离 为常数, 切线作成定角. 证明 ：设曲线 C : x = x( s) 和 C ∗ : x∗ = x∗ ( s∗ ) 的弧长参数分别为 s 和 s∗ . 由题 意可设 x∗ ( s∗ ) − x( s) = λ( s)N( s), (1.3) 且 N = N∗ . 两边对 s 求导可得 T∗ dλ ds∗ = (1 − kλ)T + N + λτB. ds ds 2 (1.4)
ds 2 d s ds 3 ′′ ′ ′′ 证明： 直接计算得 x′ = T · ds dt , x = kN · ( dt ) + T · dt2 . 所以 x × x = kB · ( dt ) , 3 ′ ′′ ′′′ ′ ′′ 2 k(t) 即得. 而 x′′′ · B = k · τ · ( ds dt ) , 所以 (x , x , x ) = τ · |x × x | .
2
3. 证明: 圆柱螺线的主法线与它的中心轴正交, 它的从法线与它的中心轴作 成定角, 它的曲率中心轨迹仍然是圆柱螺线. 证 明 ： 设圆柱螺线为 x( s) = (r cos σ s, r sin σ s, aσ s), 其中 r, a, σ =
√ 1 r2 +a2
为
常数. 直接计算 N( s) = (− cos σ s, − sin σ s, 0), B( s) = σ(a sin σ s, −a cos σ s, r), 中心轴为 (0, 0, 1). 所以 N( s) · (0, 0, 1) = 0, B( s) · (0, 0, 1) = σr. 曲率中心 1 为 x( s) + k(1s) N( s) = ((r − σ1 2 r ) cos σ s, (r − σ2 r ) sin σ s, aσ s), 也是一个圆柱螺线. 4. 设 x( s)是单位球面上以弧长为参数的曲线, 证明: 存在向量 e( s), f( s), g( s) 和 ˙= e f ˙ f = − e +λ( s)g 函数 λ( s), 使得 g ˙= −λ( s)f 1
(1.8)
于是有
d2 N dt2
= −N − c2 N = −ω2 N, 其中 ω =
√
1 + c2 . 于是有 (1.9)
N = cos ωta + sin ωtb, 其中 a, b 为常向量. 把 (1.9) 代入 (1.8) 第 1 式, 得到 T= 1 (sin ωta − cos ωtb + cf), ω
因为 T∗ ⊥N, 所以
dλ ds
= 0, λ = const.. 此时 (1.4) 化为 T∗
ds∗ = (1 − kλ)T + λτB. (1.5) ds 记 T∗ = cos θT + sin θB, 两边对 s 求导, 再分别与 T 和 B 作内积, 得到 sin θ · θ′ = cos θ · θ′ = 0, 所以 θ = const.. 8. 证明: (1) 任何平面曲线都是 Bertrand 曲线. (2) 若 kτ 0, 则空间曲线为 Bertrand 曲线的充要条件是存在常数 λ( 0) 和 µ, 使得 λk + µτ = 1. 证明： (1) 设 C : x = x( s) 是平面曲线, 只要证明 x∗ ( s) = x( s) + λN( s) 的主法向 量也是 N 即可, 其中 λ = const.. (2) 如果曲线 C : x = x( s) 和 C ∗ : x∗ = x∗ ( s∗ ) 是 Bertrand 曲线, 它们的弧长 ds ds 参数分别为 s 和 s∗ . 则由第 7 题可知, cos θ = (1 − λk) ds ∗ , sin θ = λτ ds∗ , 其 中 θ = const., λ 为非零常数. 令 µ = λ cot θ, 则 λk + µτ = 1. 反之, 由曲线 C : x = x( s) 作曲线 C ∗ : x∗ = x + λN, 弧长参数为 s∗ . 两边 对 s 求导, 并运用 λk + µτ = 1, 得到 T∗ ds∗ = (1 − kλ)T + λτB = µτT + λτB. ds
(1.10)
其中 f 为常向量, c 为常数. 把 (1.9), (1.10) 代入 (1.8) 第 2 式, 得到 c 1 B = − (sin ωta − cos ωtb) + f. ω ω (1.11)
则 (1.9), (1.10), (1.11) 为方程组 (1.8) 的通解. 为了保证在初始点 s = 0 时 {T(0), N(0), B(0)} 为单位正交右旋标架, 要对常向量 a, b, f 加以一定的限制. 因为 c 1 b +ω f −ω T(0) = N (0) = a c 1 B(0) = +ω f ωb 因为标架 {T(0), N(0), B(0)} 与标架 {a, b, f} 之间的变换矩阵是行列式等于 1 的 正交阵, 因此只须选取常向量标架 {a, b, f} 为单位正交右旋标架即可. x 最后, 对 d ds = T 积分即得曲线方程为 (∫ s ) ∫ s 1 x( s) = sin ωt(σ)dσ · a − cos ωt(σ)dσ · b + csf + g, ω 0 0 其中 g 是常向量. 10. 设曲线 x2 (t) 在曲线 x1 (t) 的切线上, 并且在对应点它们的切向量相 互 正 交, 则 x2 (t) 称 为 x1 (t) 的 渐 伸 线 , 而 x1 (t) 称 为 x2 (t) 的 渐 缩 线 . 现 设 x( s)是 弧 长 参 数 曲 线, x1 ( s) 和 x2 ( s) 是 x( s) 的 两 条 不 同 的 渐 伸 线. 证 明 x1 ( s) 和 x2 ( s) 为 Bertrand 曲线对的充要条件是 x( s) 为平面曲线. 证明： 由题意可设 xi ( s) = x( s) + λi ( s)T( s), T · Ti = 0, i = 1, 2, 其中 si 为 xi 的弧长参数. (1.8) 两边对 s 求导可得 Ti · dsi = T + λ′ i T + λi kN, ds 4 (1.14) (1.12) (1.13)
因此 τ = 0. 反之, 如果 τ = 0, 由 (1.12) 可知 T ∥ N2 . 所以 x2 − x1 = (C2 − C1 )N2 . 11. 设 C : x( s) 是弧长参数曲线, 它的 Frenet 标架为 {T( s), N( s), B( s)}. 以下曲 线 C1 : x = T( s), C2 : x = N( s), C3 : x = B( s) 分别称为 C 的切线, 主法线和从法线的球 球面 标 线 . 若 si 为 Ci (i = 1, 2, 3) 的弧 长, 证明: √ ds2 ds3 ds1 = k( s), = k2 + τ2 , = |τ( s)|. ds ds ds